Use o Teorema para o Critério de Analiticidade (Equações Cauchy-Riemann) para mostrar que as funções abaixo descritas são analíticas em um domínio apropriado. Além disso, calcule a derivada da função no domínio.
f(z)=\frac{x-1}{(x-1)^{2}+y^{2}}-i \frac{y}{(x-1)^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(z)=\frac{x-1}{(x-1)^{2}+y^{2}}-i \frac{y}{(x-1)^{2}+y^{2}}
onde z=x+iy. As tarefas são:
  • Mostrar que f é analítica em um domínio apropriado.
  • Calcular a derivada f'(z) nesse domínio.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Definimos o denominador
D=(x-1)^{2}+y^{2}.
  • D=0 ocorre somente em (x,y)=(1,0), ou seja, em z=1. Portanto a função está bem definida em todo \mathbb{C} exceto possivelmente em z=1.

Passo 2

Primeiro escrevemos f na forma usual f(x,y)=u(x,y)+i v(x,y). Identificamos
u(x,y)=\frac{x-1}{D},\qquad v(x,y)=-\frac{y}{D},
com D=(x-1)^2+y^2.
Agora lembramos do Teorema do Critério de Analiticidade (Equações de Cauchy–Riemann): se u e v têm derivadas parciais contínuas em um domínio e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann
u_x = v_y,\qquad u_y = -v_x,
então f é complexamente diferenciável (analítica) nesse domínio. Além disso, quando isso vale, a derivada complexa pode ser obtida por
f'(z)=u_x + i v_x
(ou equivalentemente f'(z)=v_y - i u_y).
Portanto vamos calcular as derivadas parciais u_x,u_y,v_x,v_y em qualquer ponto com D\neq 0 e verificar as equações de Cauchy–Riemann.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de u e v. É conveniente usar a escrita u=(x-1)D^{-1} e v=-y D^{-1}.
Derivada de u em relação a x:
\begin{aligned} u_x &= \frac{\partial}{\partial x}\big((x-1)D^{-1}\big) = D^{-1} + (x-1)\frac{\partial}{\partial x}\big(D^{-1}\big)\\\ &= D^{-1} + (x-1)\big(-1\big)D^{-2}\cdot \frac{\partial D}{\partial x} = D^{-1} - (x-1)D^{-2}\cdot 2(x-1)\\\ &= \frac{1}{D} - \frac{2(x-1)^2}{D^{2}} = \frac{D - 2(x-1)^2}{D^{2}}\\\ &= \frac{(x-1)^2+y^2 - 2(x-1)^2}{D^{2}} = \frac{y^2-(x-1)^2}{D^{2}}. \end{aligned}
Derivada de u em relação a y:
\begin{aligned} u_y &= (x-1)\frac{\partial}{\partial y}\big(D^{-1}\big) = (x-1)\big(-1\big)D^{-2}\cdot \frac{\partial D}{\partial y}\\\ &= - (x-1)D^{-2}\cdot 2y = -\frac{2y(x-1)}{D^{2}}. \end{aligned}
Agora v.
Derivada de v em relação a x:
\begin{aligned} v_x &= \frac{\partial}{\partial x}\big(-yD^{-1}\big) = -y\frac{\partial}{\partial x}(D^{-1}) = -y\big(-1\big)D^{-2}\cdot \frac{\partial D}{\partial x}\\\ &= y D^{-2}\cdot 2(x-1) = \frac{2y(x-1)}{D^{2}}. \end{aligned}
Derivada de v em relação a y:
\begin{aligned} v_y &= \frac{\partial}{\partial y}\big(-yD^{-1}\big) = -D^{-1} + (-y)\frac{\partial}{\partial y}(D^{-1})\\\ &= -\frac{1}{D} + (-y)\big(-1\big)D^{-2}\cdot 2y = -\frac{1}{D} + \frac{2y^2}{D^{2}}\\\ &= \frac{-D + 2y^2}{D^{2}} = \frac{-(x-1)^2 - y^2 + 2y^2}{D^{2}} = \frac{y^2-(x-1)^2}{D^{2}}. \end{aligned}

Passo 4

Agora verificamos as equações de Cauchy–Riemann no domínio D\neq 0:
u_x = \frac{y^2-(x-1)^2}{D^{2}} = v_y, \qquad u_y = -\frac{2y(x-1)}{D^{2}} = -v_x.
As igualdades são verdadeiras em todo ponto onde D\neq 0 (ou seja, em todo \mathbb{C}\setminus\{1\}). Além disso, as derivadas parciais que calculamos são funções racionais em x,y com denominador D^{2}, portanto são contínuas onde D\neq 0.
Pelo Teorema do Critério de Analiticidade (Cauchy–Riemann + continuidade das parciais), concluímos que f é analítica em todo o domínio
\mathbb{C}\setminus\{1\}.
(Comentário útil: percebendo que f(z)=\dfrac{(x-1)-iy}{(x-1)^2+y^2}=\dfrac{1}{z-1}, fica intuitivo que a única singularidade é em z=1; mas a verificação com as equações de Cauchy–Riemann acima segue o pedido do enunciado.)

Passo 5

Calculamos a derivada complexa f'(z) usando f'(z)=u_x + i v_x. Substituindo os valores encontrados:
\begin{aligned} f'(z) &= u_x + i v_x = \frac{y^2-(x-1)^2}{D^{2}} + i\frac{2y(x-1)}{D^{2}}\\\ &= \frac{\,\big(y^2-(x-1)^2\big) + i\,2y(x-1)\,}{D^{2}}. \end{aligned}
Agora note que (z-1)=(x-1)+iy, então
(z-1)^2=(x-1)^2 - y^2 + i\,2y(x-1).
Isso implica
-\frac{1}{(z-1)^2} = \frac{y^2-(x-1)^2 + i\,2y(x-1)}{D^{2}}.
Comparando com a expressão obtida para f'(z), vemos que
f'(z) = -\frac{1}{(z-1)^2}
para todo z com z\neq 1.

Resposta

f é analítica em \mathbb{C}\setminus\{1\}.\n
f'(z)=-\dfrac{1}{(z-1)^{2}} para todo z\neq 1.

Exercícios relacionados