Use o Teorema para o Critério de Analiticidade (Equações Cauchy-Riemann) para mostrar que as funções abaixo descritas são analíticas em um domínio apropriado. Além disso, calcule a derivada da função no domínio.
Passo 1
O enunciado dá a função
onde
. As tarefas são:
- Mostrar que
é analítica em um domínio apropriado. - Calcular a derivada
nesse domínio.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Definimos o denominador
-
ocorre somente em , ou seja, em . Portanto a função está bem definida em todo exceto possivelmente em .
Passo 2
Primeiro escrevemos
na forma usual
. Identificamos
com
.
Agora lembramos do Teorema do Critério de Analiticidade (Equações de Cauchy–Riemann): se
e
têm derivadas parciais contínuas em um domínio e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann
então
é complexamente diferenciável (analítica) nesse domínio. Além disso, quando isso vale, a derivada complexa pode ser obtida por
(ou equivalentemente
).
Portanto vamos calcular as derivadas parciais
em qualquer ponto com
e verificar as equações de Cauchy–Riemann.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
e
. É conveniente usar a escrita
e
.
Derivada de
em relação a
:
Derivada de
em relação a
:
Agora
.
Derivada de
em relação a
:
Derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora verificamos as equações de Cauchy–Riemann no domínio
:
As igualdades são verdadeiras em todo ponto onde
(ou seja, em todo
). Além disso, as derivadas parciais que calculamos são funções racionais em
com denominador
, portanto são contínuas onde
.
Pelo Teorema do Critério de Analiticidade (Cauchy–Riemann + continuidade das parciais), concluímos que
é analítica em todo o domínio
(Comentário útil: percebendo que
, fica intuitivo que a única singularidade é em
; mas a verificação com as equações de Cauchy–Riemann acima segue o pedido do enunciado.)
Passo 5
Calculamos a derivada complexa
usando
. Substituindo os valores encontrados:
Agora note que
, então
Isso implica
Comparando com a expressão obtida para
, vemos que
para todo
com
.