Determine a imagem do triângulo com vértices 0,1 e i sob a transformação w=f(z) e represente a transformação através de uma sequência de gráficos.
f(z)=z e^{i \frac{\pi}{4}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Determinar a imagem do triângulo com vértices 0, 1 e i pela transformação w=f(z), onde f(z)=z e^{i\frac{\pi}{4}}.
  2. Representar a transformação através de uma sequência de gráficos (ou seja, explicar passo a passo como o triângulo é levado para sua imagem).
Informações relevantes dadas:
  • A transformação é multiplicação por e^{i\frac{\pi}{4}}.
  • O triângulo original tem vértices nos números complexos 0, 1 e i.
  • Não há outras restrições; podemos usar representação polar ou cartesiana para calcular as imagens dos vértices.

Passo 2

Conceito essencial (aula rápida): multiplicação por e^{i\theta}.
  • Lembre que e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta.
  • Se um número complexo é escrito em forma polar como z=r e^{i\varphi}, então
z e^{i\theta} = r e^{i(\varphi+\theta)}.
Isto significa que multiplicar por e^{i\theta} gira (rotaciona) o vetor que representa z no plano complexo em \theta radianos no sentido anti-horário, e multiplica o comprimento por |e^{i\theta}|=1. Ou seja: é uma rotação pura quando usamos e^{i\theta}.

Passo 3

Aplicando o conceito ao caso específico:
  • Aqui \theta=\frac{\pi}{4}. Como |e^{i\frac{\pi}{4}}|=1, a transformação é uma rotação pura de \frac{\pi}{4} (45°) em torno da origem. Portanto distâncias ao origem são preservadas e cada argumento (ângulo) é incrementado em \frac{\pi}{4}.

Passo 4

Imagem do vértice 0:
  • Multiplicar 0 por qualquer coisa dá 0. Logo a imagem de 0 é
0\mapsto 0.

Passo 5

Imagem do vértice 1:
  • Escrevemos 1=e^{i\cdot 0}. Multiplicando por e^{i\frac{\pi}{4}} obtemos e^{i\frac{\pi}{4}}.
  • Em coordenadas retangulares:
e^{i\frac{\pi}{4}}=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}.
Portanto
1 \mapsto \frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 6

Imagem do vértice i:
  • Escrevemos i=e^{i\frac{\pi}{2}}. Multiplicando por e^{i\frac{\pi}{4}} obtemos e^{i\frac{3\pi}{4}}.
  • Em coordenadas retangulares:
e^{i\frac{3\pi}{4}}=\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}.
Portanto
i \mapsto -\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 7

Método alternativo (útil na prova): fórmula cartesiana da rotação.
  • Se z=x+iy e multiplicamos por e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta, então
(x+iy)(\cos\theta + i\sin\theta) = (x\cos\theta - y\sin\theta) + i(x\sin\theta + y\cos\theta).
  • Aplicando com \theta=\frac{\pi}{4} a (x,y)=(1,0) e (0,1) recuperamos os mesmos pontos calculados acima. Isso é prático quando os vértices vêm em coordenadas cartesianas.

Passo 8

O que acontece geometricamente com o triângulo:
  • A transformação é linear (multiplicação complexa) e preserve segmentos e razões; as arestas do triângulo conectam imagens dos vértices.
  • Como é rotação pura de 45^\circ, o triângulo imagem é congruente ao original, girado 45^\circ no sentido anti-horário em torno da origem. A orientação (sentido anti-horário dos vértices) é preservada.

Passo 9

Como representar a transformação por uma sequência de gráficos (passo a passo para desenhar na prova):
  1. Primeiro gráfico: desenhe o plano complexo com eixos reais e imaginários e marque os vértices originais 0=(0,0), 1=(1,0) e i=(0,1). Trace o triângulo que une estes pontos.
  2. Segundo gráfico (intermediário): para visualizar a rotação, desenhe os vetores que vão da origem até 1 e até i. Rotacione cada vetor 45^\circ no sentido anti-horário — você pode traçar arcos de círculo centrados na origem para ajudar a ver a rotação.
  3. Terceiro gráfico: marque os pontos resultantes da rotação: \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) e \left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) (em coordenadas reais e imaginárias), e desenhe o triângulo com vértices 0, esses dois pontos. Esse é o triângulo imagem; ele aparece claramente girado 45^\circ em relação ao original.

Resposta

Triângulo imagem com vértices 0, \dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2} e -\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Representação por sequência de gráficos: (1) desenhar triângulo original com vértices 0,(1,0),(0,1); (2) rotacionar os vetores vértices 45^\circ anti-horário em torno da origem; (3) desenhar triângulo final com vértices 0,\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right),\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).

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