Determine a imagem do triângulo com vértices 0,1 e i sob a transformação
e represente a transformação através de uma sequência de gráficos.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Determinar a imagem do triângulo com vértices
, e pela transformação , onde . - Representar a transformação através de uma sequência de gráficos (ou seja, explicar passo a passo como o triângulo é levado para sua imagem).
Informações relevantes dadas:
- A transformação é multiplicação por
. - O triângulo original tem vértices nos números complexos
, e . - Não há outras restrições; podemos usar representação polar ou cartesiana para calcular as imagens dos vértices.
Passo 2
Conceito essencial (aula rápida): multiplicação por
.
- Lembre que
. - Se um número complexo é escrito em forma polar como
, então
Isto significa que multiplicar por
gira (rotaciona) o vetor que representa
no plano complexo em
radianos no sentido anti-horário, e multiplica o comprimento por
. Ou seja: é uma rotação pura quando usamos
.
Passo 3
Aplicando o conceito ao caso específico:
- Aqui
. Como , a transformação é uma rotação pura de (45°) em torno da origem. Portanto distâncias ao origem são preservadas e cada argumento (ângulo) é incrementado em .
Passo 4
Imagem do vértice
:
- Multiplicar
por qualquer coisa dá . Logo a imagem de é
Passo 5
Imagem do vértice
:
- Escrevemos
. Multiplicando por obtemos . - Em coordenadas retangulares:
Portanto
Passo 6
Imagem do vértice
:
- Escrevemos
. Multiplicando por obtemos . - Em coordenadas retangulares:
Portanto
Passo 7
Método alternativo (útil na prova): fórmula cartesiana da rotação.
- Se
e multiplicamos por , então
- Aplicando com
a e recuperamos os mesmos pontos calculados acima. Isso é prático quando os vértices vêm em coordenadas cartesianas.
Passo 8
O que acontece geometricamente com o triângulo:
- A transformação é linear (multiplicação complexa) e preserve segmentos e razões; as arestas do triângulo conectam imagens dos vértices.
- Como é rotação pura de
, o triângulo imagem é congruente ao original, girado no sentido anti-horário em torno da origem. A orientação (sentido anti-horário dos vértices) é preservada.
Passo 9
Como representar a transformação por uma sequência de gráficos (passo a passo para desenhar na prova):
- Primeiro gráfico: desenhe o plano complexo com eixos reais e imaginários e marque os vértices originais
, e . Trace o triângulo que une estes pontos. - Segundo gráfico (intermediário): para visualizar a rotação, desenhe os vetores que vão da origem até
e até . Rotacione cada vetor no sentido anti-horário — você pode traçar arcos de círculo centrados na origem para ajudar a ver a rotação. - Terceiro gráfico: marque os pontos resultantes da rotação:
e (em coordenadas reais e imaginárias), e desenhe o triângulo com vértices , esses dois pontos. Esse é o triângulo imagem; ele aparece claramente girado em relação ao original.
Resposta
Triângulo imagem com vértices
,
e
.
Representação por sequência de gráficos: (1) desenhar triângulo original com vértices ; (2) rotacionar os vetores vértices
anti-horário em torno da origem; (3) desenhar triângulo final com vértices
.
Representação por sequência de gráficos: (1) desenhar triângulo original com vértices