Use o Teorema para o Critério de Analiticidade (Equações Cauchy-Riemann) para mostrar que as funções abaixo descritas são analíticas em um domínio apropriado. Além disso, calcule a derivada da função no domínio.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
- Dado
. - Pedidos:
- Mostrar que a função é analítica em um domínio apropriado (ou seja, determinar onde ela é analítica).
- Calcular a derivada de
nesse domínio.
- Informação implícita: devo usar o Teorema do Critério de Analiticidade (Equações de Cauchy–Riemann), então vou verificar as equações de Cauchy–Riemann e a continuidade das derivadas parciais no domínio.
Passo 2
Primeiro passo prático: escrevo
em coordenadas reais e separo parte real e imaginária da função.
- Coloco
como , onde e são números reais, e é a unidade imaginária. - Expando
: - Então
- Identifico a parte real
e a parte imaginária :
Passo 3
Vou explicar rapidamente o que diz o Teorema/critério que vou usar (Cauchy–Riemann), de forma didática:
- As equações de Cauchy–Riemann são duas igualdades que ligam as derivadas parciais de
e . Elas são: - O Teorema do Critério de Analiticidade (uma versão prática) afirma:
see têm derivadas parciais primeiras contínuas numa região aberta e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann em , então a função é complexamente diferenciável (holomorfa/analítica) em . - Além disso, quando essas condições valem, a derivada complexa pode ser calculada por
que é equivalente a outras formas (por exemplo ) quando as CR são satisfeitas.
Passo 4
Agora calculo as derivadas parciais de
e
(explicando o que faço):
- Derivada parcial de
em relação a : trato como constante e derivO termo a termo: (Aqui é constante quando derivamos em relação a .) - Derivada parcial de
em relação a : trato como constante: - Derivada parcial de
em relação a : (Porque é tratado como constante ao derivar em .) - Derivada parcial de
em relação a :
Passo 5
Verifico as equações de Cauchy–Riemann usando os valores obtidos:
- Compare
e : logo para todo par . - Compare
e : logo para todo par . - Observação sobre continuidade: as derivadas parciais que calculei são polinomiais em
e (como e ), então são funções contínuas em todo . Portanto a hipótese de continuidade das derivadas parciais no teorema está satisfeita em toda a parte.
Passo 6
Conclusão sobre analiticidade e domínio:
- Como as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas em todos os pontos do plano e as derivadas parciais são contínuas em todo
, por esse critério é analítica em todo o plano complexo. - Em termos padrões:
é analítica em . Em linguagem usuAL, dizemos que é uma função inteira (entire), i.e., holomorfa em todo .
Passo 7
Cálculo explícito da derivada complexa
usando a fórmula do passo 3 e também por uma forma mais direta (regra de potência), para reforçar o conceito:
- Pela fórmula com derivadas parciais:
Agrupando os termos reais e imaginários: - Checagem rápida pela regra de derivação usual sobre potências (mais direta e geralmente mais prática em prova): a derivada de
é e a derivada de é , logo que coincide com o resultado obtido via Cauchy–Riemann.
Resposta
f é analítica em
.