Use o Teorema para o Critério de Analiticidade (Equações Cauchy-Riemann) para mostrar que as funções abaixo descritas são analíticas em um domínio apropriado. Além disso, calcule a derivada da função no domínio.
f(z)=z^{2}+z

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Dado f(z)=z^{2}+z.
  • Pedidos:
    1. Mostrar que a função é analítica em um domínio apropriado (ou seja, determinar onde ela é analítica).
    2. Calcular a derivada de f nesse domínio.
  • Informação implícita: devo usar o Teorema do Critério de Analiticidade (Equações de Cauchy–Riemann), então vou verificar as equações de Cauchy–Riemann e a continuidade das derivadas parciais no domínio.

Passo 2

Primeiro passo prático: escrevo z em coordenadas reais e separo parte real e imaginária da função.
  • Coloco z como z=x+iy, onde x e y são números reais, e i é a unidade imaginária.
  • Expando z^{2}: z^{2}=(x+iy)^{2}=x^{2}+2ixy+(iy)^{2}=x^{2}+2ixy-i^{2}y^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy.
  • Então f(z)=z^{2}+z=(x^{2}-y^{2}+x)+i(2xy+y).
  • Identifico a parte real u(x,y) e a parte imaginária v(x,y): u(x,y)=x^{2}-y^{2}+x,\qquad v(x,y)=2xy+y.

Passo 3

Vou explicar rapidamente o que diz o Teorema/critério que vou usar (Cauchy–Riemann), de forma didática:
  • As equações de Cauchy–Riemann são duas igualdades que ligam as derivadas parciais de u e v. Elas são: \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.
  • O Teorema do Critério de Analiticidade (uma versão prática) afirma:
    se u e v têm derivadas parciais primeiras contínuas numa região aberta D e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann em D, então a função f=u+iv é complexamente diferenciável (holomorfa/analítica) em D.
  • Além disso, quando essas condições valem, a derivada complexa pode ser calculada por f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x},que é equivalente a outras formas (por exemplo f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}) quando as CR são satisfeitas.

Passo 4

Agora calculo as derivadas parciais de u e v (explicando o que faço):
  • Derivada parcial de u em relação a x: trato y como constante e derivO termo a termo: \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})+\frac{\partial}{\partial x}(-y^{2})+\frac{\partial}{\partial x}(x)=2x+0+1=2x+1.(Aqui y^{2} é constante quando derivamos em relação a x.)
  • Derivada parcial de u em relação a y: trato x como constante: \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2})+\frac{\partial}{\partial y}(-y^{2})+\frac{\partial}{\partial y}(x)=0-2y+0=-2y.
  • Derivada parcial de v em relação a x: \frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2xy)+\frac{\partial}{\partial x}(y)=2y+0=2y.(Porque y é tratado como constante ao derivar em x.)
  • Derivada parcial de v em relação a y: \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2xy)+\frac{\partial}{\partial y}(y)=2x+1.

Passo 5

Verifico as equações de Cauchy–Riemann usando os valores obtidos:
  • Compare \frac{\partial u}{\partial x} e \frac{\partial v}{\partial y}: \frac{\partial u}{\partial x}=2x+1,\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=2x+1,logo \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} para todo par (x,y).
  • Compare \frac{\partial u}{\partial y} e -\frac{\partial v}{\partial x}: \frac{\partial u}{\partial y}=-2y,\qquad -\frac{\partial v}{\partial x}=-2y,logo \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} para todo par (x,y).
  • Observação sobre continuidade: as derivadas parciais que calculei são polinomiais em x e y (como 2x+1 e -2y), então são funções contínuas em todo \mathbb{R}^{2}. Portanto a hipótese de continuidade das derivadas parciais no teorema está satisfeita em toda a parte.

Passo 6

Conclusão sobre analiticidade e domínio:
  • Como as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas em todos os pontos do plano e as derivadas parciais são contínuas em todo \mathbb{R}^{2}, por esse critério f é analítica em todo o plano complexo.
  • Em termos padrões: f é analítica em \mathbb{C}. Em linguagem usuAL, dizemos que f é uma função inteira (entire), i.e., holomorfa em todo \mathbb{C}.

Passo 7

Cálculo explícito da derivada complexa f'(z) usando a fórmula do passo 3 e também por uma forma mais direta (regra de potência), para reforçar o conceito:
  • Pela fórmula com derivadas parciais: f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=(2x+1)+i(2y).Agrupando os termos reais e imaginários: f'(z)=(2x+1)+i(2y)=2(x+iy)+1=2z+1.
  • Checagem rápida pela regra de derivação usual sobre potências (mais direta e geralmente mais prática em prova): a derivada de z^{2} é 2z e a derivada de z é 1, logo f'(z)=2z+1,que coincide com o resultado obtido via Cauchy–Riemann.

Resposta

f é analítica em \mathbb{C}.
f'(z)=2z+1

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