Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície integralS F cdot d S, ou seja, calcule o fluxo de F através de S , sendo
F(x, y, z)=3 x y^2 i+x e^2 z j+2 z^3 k e S a superfície do sólido limitado pelo cilindro y^2+z^2=4 e os planos x=-1 e x=3.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F=(3xy^2,,x e^2z,,2z^3) pela superfície fechada S do sólido limitado por y^2+z^2=4, x=-1 e x=3, usando o Teorema da Divergência. Vamos precisar calcular a divergência de F e fazer um triplo integral no volume V.

Passo 2

A divergência de um campo vetorial F=(Fx,Fy,Fz) é dada por nablacdot F=partialxFx+partialyFy+partialzFz. Aplicando em F:
nablacdot F=partialpartial x(3xy^2)+partialpartial y(x e^2z)+partialpartial z(2z^3)=3y^2+0+6z^2

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo é
integral duplaS Fcdot d S=integral triplaV(3y^2+6z^2),dV

Passo 4

Para integrar sobre V, note que x varia de -1 a 3 e a projeção no plano yz é o disco y^2+z^2<=4. Usamos coordenadas polares em y,z:
y=rcostheta, z=rsintheta, rin[0,2],,thetain[0,2pi],,xin[-1,3],,dV=r,dr,dtheta,dx

Passo 5

O integral vira
integralx=-1^3integral0^2integral0^2pi(3r^2cos^2theta+6r^2sin^2theta),r,dtheta,dr,dx

Passo 6

Integramos em x primeiro:
integral-1^3dx=4
Depois a parte angular:
integral0^2pi(3r^3cos^2theta+6r^3sin^2theta)dtheta=3r^3pi+6r^3pi=9pi r^3

Passo 7

Por fim o radial:
integral0^29pi r^3dr=9pir^44|0^2=9picdot4=36pi

Passo 8

Multiplicando pelo fator de x obtemos o fluxo total:
4times36pi=144pi

Resposta

144pi

Exercícios relacionados