Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície , ou seja, calcule o fluxo de através de S , sendo e a superfície do sólido limitado pelo cilindro e os planos e .
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de pela superfície fechada do sólido limitado por , e , usando o Teorema da Divergência. Vamos precisar calcular a divergência de e fazer um triplo integral no volume .
Passo 2
A divergência de um campo vetorial é dada por . Aplicando em :
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo é
Passo 4
Para integrar sobre , note que varia de a e a projeção no plano é o disco . Usamos coordenadas polares em :
Passo 5
O integral vira
Passo 6
Integramos em primeiro:
Depois a parte angular:
Passo 7
Por fim o radial:
Passo 8
Multiplicando pelo fator de x obtemos o fluxo total: