Resolva as seguintes equações lineares homogêneas utilizando a solução particular
indicada.
(j)
(j)
Passo 1
O enunciado dá a equação homogênea de segunda ordem
4 x² y’’ – 8 x y’ + 9 y = 0
e pede para usar a solução particular y₁(x) = x^{3/2} e encontrar a segunda solução. O conteúdo envolve o método de redução de ordem para EDOs lineares.
4 x² y’’ – 8 x y’ + 9 y = 0
e pede para usar a solução particular y₁(x) = x^{3/2} e encontrar a segunda solução. O conteúdo envolve o método de redução de ordem para EDOs lineares.
Passo 2
Dividimos toda a equação por 4 x² para colocá-la na forma padrão y’’ + p(x) y’ + q(x) y = 0. Assim obtemos
daí p(x) = -2/x.
Passo 3
Aplicamos a fórmula de redução de ordem, que diz que se y₁(x) é solução, então a segunda solução y₂(x) pode ser escrita como
Passo 4
Calculamos as integrais envolvidas. Primeiro
o que dá
Como y₁(x)² = x^3, o integrando fica x2/x3 = 1/x e
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Passo 5
A solução geral da EDO é combinação linear de y₁ e y₂. Portanto