Resolva as seguintes equações lineares homogêneas utilizando a solução particular y1(x) indicada.
(j) 4 x^2 y^prime prime-8 x y^prime+9 y=0, y1(x)=x^3 / 2

Passo 1

O enunciado dá a equação homogênea de segunda ordem
4 x² y’’ – 8 x y’ + 9 y = 0
e pede para usar a solução particular y₁(x) = x^{3/2} e encontrar a segunda solução. O conteúdo envolve o método de redução de ordem para EDOs lineares.

Passo 2

Dividimos toda a equação por 4 x² para colocá-la na forma padrão y’’ + p(x) y’ + q(x) y = 0. Assim obtemos
y'' - 2x y' + 94 x^2 y = 0
daí p(x) = -2/x.

Passo 3

Aplicamos a fórmula de redução de ordem, que diz que se y₁(x) é solução, então a segunda solução y₂(x) pode ser escrita como
y2(x) = y1(x) integral e^-integral p(x),dxy1(x)^2 ,dx

Passo 4

Calculamos as integrais envolvidas. Primeiro
integral p(x),dx = integral l(-tfrac2xr) dx = -2ln|x|,
o que dá
e^-integral p(x)dx = e^2ln|x| = x^2
Como y₁(x)² = x^3, o integrando fica x2/x3 = 1/x e
integral 1x dx = ln|x|
Logo
y2(x) = x^3/2 ln|x|

Passo 5

A solução geral da EDO é combinação linear de y₁ e y₂. Portanto
y(x) = C1 x^3/2 + C2 x^3/2 ln|x|

Resposta

y(x) = C1 x^3/2 + C2 x^3/2 ln|x|

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