[8,0 pontos ] Calcule as integrais de superfície.
b) [4,0 pontos ] integral duplaS x^2 d S, em que S é a esfera unitária x^2+y^2+z^2=a^2, a>0.

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral de superfície integral duplaS x^2,dS, onde S é a esfera de raio a. O conteúdo aqui é integrais de superfície e vamos usar simetria de esferas para simplificar.

Passo 2

Em esferas homogêneas, por simetria, vale
integral duplaS x^2,dS = integral duplaS y^2,dS = integral duplaS z^2,dS
e
integral duplaS x^2,dS + integral duplaS y^2,dS + integral duplaS z^2,dS = integral duplaS (x^2+y^2+z^2),dS
Como as três integrais de x^2,y^2,z^2 são iguais, podemos escrever
integral duplaS x^2,dS = 13integral duplaS (x^2+y^2+z^2),dS

Passo 3

Na superfície da esfera temos x^2+y^2+z^2=a^2 constante e sua área é integral duplaSdS=4pi a^2. Logo,
integral duplaS (x^2+y^2+z^2),dS = a^2 cdot l(4pi a^2r) = 4pi a^4

Passo 4

Substituindo de volta na relação de simetria, obtemos
integral duplaS x^2,dS = 13 times 4pi a^4 = 4pi a^43

Resposta

4pi a^43

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