1. Use o Teorema do Divergente para avaliar
\begin{aligned} & \qquad \iint_{S}\left(2 x+2 y+z^{2}\right) d S \\ & \text { onde } S \text { é a esfera } x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \end{aligned}é

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{S}\bigl(2x+2y+z^{2}\bigr)\,dS
onde S é a esfera unitária x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.
Vamos usar o Teorema da Divergência, mas para isso precisamos definir um campo vetorial \mathbf F tal que o produto escalar \mathbf F\cdot\mathbf n (com \mathbf n normal unitária à superfície) seja exatamente 2x+2y+z^2.

Passo 2

Na esfera de raio 1 a normal externa é \mathbf n=(x,y,z). Queremos
\mathbf F\cdot\mathbf n =F_x\,x + F_y\,y + F_z\,z =2x + 2y + z^2.
Uma escolha simples é
\mathbf F(x,y,z) = (2,\,2,\,z),
pois aí
F_x\,x + F_y\,y + F_z\,z =2x + 2y + z\cdot z =2x+2y+z^2.

Passo 3

Calculamos a divergência de \mathbf F:
\nabla\cdot\mathbf F =\frac{\partial}{\partial x}(2) +\frac{\partial}{\partial y}(2) +\frac{\partial}{\partial z}(z) =0+0+1 =1.
Pelo Teorema da Divergência vale
\iint_{S}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS =\iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf F\,dV =\iiint_{V}1\,dV,
onde V é o interior da esfera de raio 1.

Passo 4

O volume de V é
\text{Vol}(V) =\frac{4}{3}\pi\,1^{3} =\frac{4}{3}\pi.
Logo
\iiint_{V}1\,dV =\frac{4}{3}\pi.

Resposta

\iint_{S}\bigl(2x+2y+z^{2}\bigr)\,dS =\frac{4}{3}\pi.

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