1. \mathbf{F}(x, y, z)=\left(\cos z+x y^{2}\right) \mathbf{i}+x e^{-z} \mathbf{j}+\left(\operatorname{sen} y+x^{2} z\right) \mathbf{k}, S é a superfície do sólido limitado pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2} e o plano z=4

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=(\cos z + x y^2)\,\mathbf{i} + x e^{-z}\,\mathbf{j} + (\sin y + x^2 z)\,\mathbf{k}
através da superfície fechada S que limita o sólido E entre o paraboloide z=x^2+y^2 e o plano z=4.
Conteúdo: usar o Teorema da Divergência (Gauss).

Passo 2

Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} \;=\;\iiint_{E}\nabla\cdot\mathbf{F}\;dV.

Passo 3

Calculamos a divergência:
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(\cos z + x y^2) +\frac{\partial}{\partial y}(x e^{-z}) +\frac{\partial}{\partial z}(\sin y + x^2 z).
Como \partial_x(\cos z)=0, \partial_x(xy^2)=y^2, \partial_y(xe^{-z})=0, \partial_z(\sin y)=0, \partial_z(x^2 z)=x^2, obtemos
\nabla\cdot\mathbf{F}=y^2 + x^2.

Passo 4

Para calcular \displaystyle\iiint_{E}(x^2+y^2)\,dV
usamos coordenadas cilíndricas: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z.
A projeção de E no plano xy é o disco r\le2. Em cada (r,\theta), z varia de r^2 até 4.
O elemento de volume é dV=r\,dz\,dr\,d\theta. Logo
\iiint_{E}(x^2+y^2)\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}\!\int_{r^2}^{4}(r^2)\,\bigl(r\,dz\,dr\,d\theta\bigr).

Passo 5

Primeiro integramos em z:
\int_{r^2}^{4}r^3\,dz =r^3\bigl[\,z\,\bigr]_{z=r^2}^{4} =r^3(4 - r^2).
Em seguida em r e \theta:
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}r^3(4-r^2)\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{2}(4r^3 - r^5)\,dr =2\pi\Bigl[\;4\frac{r^4}{4}-\frac{r^6}{6}\Bigr]_{0}^{2} =2\pi\Bigl(16 - \frac{64}{6}\Bigr) =2\pi\cdot\frac{16}{3} =\frac{32\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{32\pi}{3}

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