1. \mathbf{F}=|\mathbf{r}|^{2} \mathbf{r}, onde \mathbf{r}=x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}, S é a esfera com raio R e origem no centro

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \mathbf{F} = |\mathbf{r}|^{2}\,\mathbf{r}, onde \mathbf{r} = x\,\mathbf{i} + y\,\mathbf{j} + z\,\mathbf{k}, e S é a esfera de raio R centrada na origem. Queremos o fluxo
\Phi = \iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS.
Vamos usar o Teorema da Divergência, que transforma esse fluxo num integral de volume do divergente de \mathbf{F}.

Passo 2

Calculamos o divergente de \mathbf{F}. Escrevendo \mathbf{F}=(x^2+y^2+z^2)(x,y,z), temos
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x(x^2+y^2+z^2)\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y(x^2+y^2+z^2)\bigr) +\frac{\partial}{\partial z}\bigl(z(x^2+y^2+z^2)\bigr).
Calculando cada termo surge
\nabla\cdot\mathbf{F} =3x^2+y^2+z^2 \;+\; x^2+3y^2+z^2 \;+\; x^2+y^2+3z^2 =5\,(x^2+y^2+z^2)=5r^2.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência:
\Phi = \iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iiint_{V}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV =5\iiint_{V}r^2\,dV,
onde V é o volume da esfera de raio R.

Passo 4

Em coordenadas esféricas, dV = r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi. Logo,
\Phi =5\int_{0}^{R}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi} r^2\,(r^2\sin\theta)\,d\varphi\,d\theta\,dr.
A parte angular dá \displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta=2 e \displaystyle \int_{0}^{2\pi}d\varphi=2\pi,
e a parte radial \displaystyle \int_{0}^{R}r^4\,dr=\frac{R^5}{5}.
Substituindo:
\Phi =5\cdot2\cdot2\pi\cdot\frac{R^5}{5} =4\pi R^5.

Resposta

\displaystyle \Phi = 4\pi R^5.

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