Use o Teorema do Divergente para calcular o fluxo de
F(x, y, z)=y^{3} e^{z} \vec{i}+y \vec{j}-x \operatorname{arctg}(y) \vec{k}
através da superfície S que é dada pela fronteira da região delimitada pelos planos coordenados e o plano x+y+z=1.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y,z)=y^{3}e^{z}\,\vec{i}+y\,\vec{j}-x\operatorname{arctg}(y)\,\vec{k}
e a superfície S é a fronteira fechada da região V limitada pelos planos coordenados x=0, y=0, z=0 e pelo plano x+y+z=1.
O que o enunciado pede: calcular o fluxo de F através de S, isto é
\iint_{S} F\cdot \vec{n}\,dS,
onde \vec{n} é a normal exterior à região V.

Passo 2

Apresentação e explicação do Teorema do Divergente (Teorema de Gauss). O teorema diz que, para uma região volumétrica V com fronteira lisa S orientada pela normal exterior, vale
\iint_{S} F\cdot \vec{n}\,dS=\iiint_{V} \operatorname{div}F\,dV.
Aqui \operatorname{div}F (divergência de F) é a soma das derivadas parciais das componentes de F:
\operatorname{div}F=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z},
onde F_1,F_2,F_3 são as componentes nas direções \vec{i},\vec{j},\vec{k}. Explicando as derivadas parciais de forma prática: ao calcular \partial/\partial x de uma expressão, trata-se y e z como constantes; ao calcular \partial/\partial y trata-se x e z como constantes; e assim por diante.

Passo 3

Calcular a divergência de F. As componentes são F_1=y^{3}e^{z}, F_2=y, F_3=-x\operatorname{arctg}(y). Então
\operatorname{div}F=\frac{\partial}{\partial x}\big(y^{3}e^{z}\big)+\frac{\partial}{\partial y}\big(y\big)+\frac{\partial}{\partial z}\big(-x\operatorname{arctg}(y)\big).
Agora avaliar cada derivada parcial:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\big(y^{3}e^{z}\big)=0 porque y^{3}e^{z} não depende de x (tratamos y,z como constantes).
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\big(y\big)=1.
  • \dfrac{\partial}{\partial z}\big(-x\operatorname{arctg}(y)\big)=0 porque -x\operatorname{arctg}(y) não depende de z (tratamos x,y como constantes).
    Portanto
\operatorname{div}F=0+1+0=1.

Passo 4

Aplicar o Teorema do Divergente: o fluxo pedido é igual ao integral triplo de 1 sobre a região V:
\iint_{S} F\cdot \vec{n}\,dS=\iiint_{V} 1\,dV.
Isto significa que o fluxo é simplesmente o volume de V. A região V é o tetraedro com vértices (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Para montar o integral em coordenadas cartesianas, escolhemos a ordem dz\,dy\,dx. Para um x fixo, y varia de 0 até 1-x; para x varia de 0 até 1; e para cada (x,y), z varia de 0 até 1-x-y. Assim
\iiint_{V} 1\,dV=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}\int_{z=0}^{1-x-y} 1\,dz\,dy\,dx.

Passo 5

Calcular o integral passo a passo:
  1. Integração em z:
\int_{z=0}^{1-x-y} 1\,dz = 1-x-y.
  1. Integração em y:
\int_{y=0}^{1-x} (1-x-y)\,dy = \int_{0}^{1-x} \big((1-x)-y\big)\,dy = (1-x)y-\frac{y^{2}}{2}\Big|_{0}^{1-x}.
Avalia em y=1-x:
(1-x)(1-x)-\frac{(1-x)^{2}}{2}=(1-x)^{2}-\frac{1}{2}(1-x)^{2}=\frac{1}{2}(1-x)^{2}.
  1. Integração em x:
\int_{x=0}^{1} \frac{1}{2}(1-x)^{2}\,dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{1} (1-x)^{2}\,dx.
Calcula \int_{0}^{1} (1-x)^{2}\,dx. Expande ou faz substituição: (1-x)^{2}=1-2x+x^{2}, então
\int_{0}^{1} (1-2x+x^{2})\,dx=\big[x - x^{2} + \tfrac{x^{3}}{3}\big]_{0}^{1}=1-1+\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{3}.
Multiplicando por \tfrac{1}{2}:
\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}.

Passo 6

Conclusão: pelo Teorema do Divergente o fluxo através de S é o volume de V, que calculamos ser \dfrac{1}{6}. Pequeno lembrete encorajador: deu pra ver que, quando a divergência é uma constante simples, a conta vira só volume — ótimo para ganhar tempo na prova!

Resposta

\dfrac{1}{6}

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