Determine o plano tangente e a reta normal a
no ponto
( 3,1 )
( 3,1 )
Passo 1
O enunciado dá a função
e um ponto e pede duas coisas:
- Determinar o plano tangente a
no ponto . - Determinar a reta normal à superfície
no ponto .
Informações fornecidas que vamos usar:
- A função:
. - O ponto da superfície tem coordenadas no plano
: . Preciso também do valor , que vou calcular a seguir.
Passo 2
Calcular o valor de
no ponto para obter
.
Logo
. Esse será o ponto da superfície
.
Passo 3
Explicar e aplicar como obter as derivadas parciais
e
(essenciais para o plano tangente).
Quando a função é uma razão
com
, usa-se a regra do quociente para derivar em relação a
:
onde
e
. A mesma fórmula vale trocando
por
.
No nosso caso
e
. Então:
Passo 4
Calcular
de forma explícita e depois avaliar em
.
Aplicando a fórmula do quociente para
:
Agora avalio em
. Já calculei
e
. O numerador fica:
Portanto
Passo 5
Calcular
e avaliar em
.
Aplicando a fórmula do quociente para
:
Avalio em
. Numerador:
Logo
Resumo das derivadas no ponto:
Passo 6
Escrever a fórmula do plano tangente e substituir os valores.
Para uma superfície dada por
, o plano tangente no ponto
é
Substituindo
,
,
,
e
:
Passo 7
Simplificar a equação do plano para uma forma mais compacta (opcional, mas útil).
Multiplico ambos os lados por
para eliminar frações:
Calculo o lado direito:
Então
Isolando
:
Qualquer uma das formas acima é equivalente ao plano tangente.
Passo 8
Determinar a reta normal à superfície no ponto.
Explicação: uma normal à superfície
em
é um vetor perpendicular ao plano tangente. Uma escolha natural de vetor normal é
porque esse vetor é o gradiente de
, e
é ortogonal ao nível
.
Aqui, com
e
, obtemos
Para evitar frações, posso multiplicar por
a direção sem alterar a reta; assim uma direção conveniente é
.
Portanto a reta normal passando por
tem forma paramétrica (com parâmetro
):
Forma simétrica equivalente:
Passo 9
Recapitulando (breve e motivador): já calculei
, as derivadas parciais no ponto, montei o plano tangente usando a fórmula padrão e construí a reta normal usando o vetor normal
. Tá tudo consistente: derivadas opostas nos sinais deram um plano com coeficientes simples e uma reta normal com direção inteira
. Boa — isso é exatamente o que pediram!