Determine o plano tangente e a reta normal a f no ponto
( 3,1 )
f(x, y)=\frac{2+x y}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função f e um ponto e pede duas coisas:
  • Determinar o plano tangente a f no ponto (3,1).
  • Determinar a reta normal à superfície z=f(x,y) no ponto (3,1).
Informações fornecidas que vamos usar:
  • A função: \displaystyle f(x,y)=\frac{2+xy}{x^{2}+y^{2}}.
  • O ponto da superfície tem coordenadas no plano xy: (x_0,y_0)=(3,1). Preciso também do valor z_0=f(3,1), que vou calcular a seguir.

Passo 2

Calcular o valor de f no ponto para obter z_0.
x_0^2+y_0^2 = 3^2+1^2 = 9+1 = 10
f(3,1)=\frac{2+3\cdot1}{10}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}.
Logo z_0=\dfrac{1}{2}. Esse será o ponto da superfície (3,1,\tfrac{1}{2}).

Passo 3

Explicar e aplicar como obter as derivadas parciais \,f_x e f_y (essenciais para o plano tangente).
Quando a função é uma razão \displaystyle f(x,y)=\frac{N(x,y)}{D(x,y)} com D\neq0, usa-se a regra do quociente para derivar em relação a x:
f_x=\frac{N_x D - N D_x}{D^2},
onde N_x=\partial N/\partial x e D_x=\partial D/\partial x. A mesma fórmula vale trocando x por y.
No nosso caso N(x,y)=2+xy e D(x,y)=x^2+y^2. Então:
N_x = y,\qquad D_x = 2x,
N_y = x,\qquad D_y = 2y.

Passo 4

Calcular \,f_x(x,y) de forma explícita e depois avaliar em (3,1).
Aplicando a fórmula do quociente para f_x:
f_x(x,y)=\frac{y\,(x^2+y^2)-(2+xy)\,2x}{(x^2+y^2)^2}.
Agora avalio em (x,y)=(3,1). Já calculei x^2+y^2=10 e (x^2+y^2)^2=100. O numerador fica:
y\,(x^2+y^2)-(2+xy)\,2x = 1\cdot 10 - (2+3)\cdot 2\cdot 3 = 10 - 5\cdot 6 = 10-30 = -20.
Portanto
f_x(3,1)=\frac{-20}{100}=-\frac{1}{5}.

Passo 5

Calcular \,f_y(x,y) e avaliar em (3,1).
Aplicando a fórmula do quociente para f_y:
f_y(x,y)=\frac{x\,(x^2+y^2)-(2+xy)\,2y}{(x^2+y^2)^2}.
Avalio em (3,1). Numerador:
x\,(x^2+y^2)-(2+xy)\,2y = 3\cdot 10 - (2+3)\cdot 2\cdot 1 = 30 - 5\cdot 2 = 30-10 = 20.
Logo
f_y(3,1)=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}.
Resumo das derivadas no ponto:
f_x(3,1)=-\frac{1}{5},\qquad f_y(3,1)=\frac{1}{5}.

Passo 6

Escrever a fórmula do plano tangente e substituir os valores.
Para uma superfície dada por z=f(x,y), o plano tangente no ponto (x_0,y_0,z_0) é
z-z_0 = f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Substituindo x_0=3, y_0=1, z_0=\tfrac{1}{2}, f_x(3,1)=-\tfrac{1}{5} e f_y(3,1)=\tfrac{1}{5}:
z-\frac{1}{2} = -\frac{1}{5}(x-3) + \frac{1}{5}(y-1).

Passo 7

Simplificar a equação do plano para uma forma mais compacta (opcional, mas útil).
Multiplico ambos os lados por 5 para eliminar frações:
5z - \frac{5}{2} = -(x-3) + (y-1).
Calculo o lado direito:
-(x-3)+(y-1) = -x+3+y-1 = -x+y+2.
Então
5z - \frac{5}{2} = -x+y+2.
Isolando z:
5z = -x+y+2 + \frac{5}{2} = -x+y+\frac{9}{2},
z = -\frac{1}{5}x + \frac{1}{5}y + \frac{9}{10}.
Qualquer uma das formas acima é equivalente ao plano tangente.

Passo 8

Determinar a reta normal à superfície no ponto.
Explicação: uma normal à superfície z=f(x,y) em (x_0,y_0,z_0) é um vetor perpendicular ao plano tangente. Uma escolha natural de vetor normal é
\vec{n}=(-f_x(x_0,y_0), -f_y(x_0,y_0), 1),
porque esse vetor é o gradiente de F(x,y,z)=z-f(x,y), e \nabla F é ortogonal ao nível F=0.
Aqui, com f_x(3,1)=-\tfrac{1}{5} e f_y(3,1)=\tfrac{1}{5}, obtemos
\vec{n} = \Big(-\big(-\tfrac{1}{5}\big), -\tfrac{1}{5}, 1\Big) = \Big(\tfrac{1}{5}, -\tfrac{1}{5}, 1\Big).
Para evitar frações, posso multiplicar por 5 a direção sem alterar a reta; assim uma direção conveniente é (1,-1,5).
Portanto a reta normal passando por (3,1,\tfrac{1}{2}) tem forma paramétrica (com parâmetro t):
\begin{cases} x(t)=3+t,\\[4pt] y(t)=1-t,\\[4pt] z(t)=\dfrac{1}{2}+5t. \end{cases}
Forma simétrica equivalente:
\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-\tfrac{1}{2}}{5}.]

Passo 9

Recapitulando (breve e motivador): já calculei z_0, as derivadas parciais no ponto, montei o plano tangente usando a fórmula padrão e construí a reta normal usando o vetor normal ( -f_x,-f_y,1). Tá tudo consistente: derivadas opostas nos sinais deram um plano com coeficientes simples e uma reta normal com direção inteira (1,-1,5). Boa — isso é exatamente o que pediram!

Resposta

\text{Plano tangente:}\quad z-\frac{1}{2}=-\frac{1}{5}(x-3)+\frac{1}{5}(y-1)
\text{Reta normal (paramétrica):}\quad \begin{cases} x=3+t,\\[4pt] y=1-t,\\[4pt] z=\dfrac{1}{2}+5t, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}é

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