Determine o plano tangente e a reta normal a
no ponto
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas no ponto
:
- o plano tangente à superfície
nesse ponto; - a reta normal à superfície nesse ponto.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- ponto no domínio:
; - a superfície é o gráfico
; - para obter o plano tangente é preciso conhecer
, e ; - para obter a reta normal é preciso a posição do ponto em
(isto é, ) e um vetor normal à superfície naquele ponto (que pode ser obtido a partir de e ).
Passo 2
Calcular
, o valor da função no ponto dado.
No ponto
temos primeiro
Portanto
Logo
Comentário curto e motivador: já sabemos agora que o ponto do gráfico é
. Boa! Vamos pegar as derivadas parciais para montar o plano.
Passo 3
Relembrando o que é derivada parcial (mini-aula curta e prática):
- A derivada parcial de
em relação a , denotada , mede a taxa de variação de quando apenas muda e fica fixo. - Para calcular
trata-se como constante e aplica-se as regras usuais (produto, cadeia, etc.). - Analogamente para
, tratando como constante.
Agora calculamos as derivadas parciais de
.
Defina
. Então
.
Usando regra do produto e cadeia:
-
Para
: derivate (é constante em relação a ) vezes mais vezes derivada de (pela cadeia).
Primeiro a derivada deem relação a é Assim -
Para
: use produto também (derivada de é ): Aquiportanto
Agora avaliamos essas derivadas no ponto
. Já sabemos
.
Resumo dos valores que já precisamos:
- ponto no espaço:
; - derivadas parciais:
e .
Passo 4
Fórmula do plano tangente ao gráfico
no ponto
:
Explicando cada termo:
-
é o ponto de ancoragem; -
é a inclinação do plano na direção ; -
é a inclinação do plano na direção ; - os termos
e deslocam a expressão a partir do ponto.
Substituindo os valores calculados (sem expandir mais aqui):
Passo 5
Vetor normal à superfície e reta normal (mini-aula curta):
- O gráfico
tem vetor normal em dado por . Isso vem do fato de que a superfície é nível da função , cujo gradiente é normal ao nível. - A reta normal é a reta que passa por
e tem direção . Uma forma paramétrica da reta, usando parâmetro , é
Usando os valores obtidos:
Assim a reta normal em coordenadas paramétricas (com parâmetro
) é