Determine o plano tangente e a reta normal a f no ponto
(\ln (2), 2)
f(x, y)=y e^{x+x y}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=y e^{x+xy} e pede duas coisas no ponto \big(\ln(2),\,2\big):
  • o plano tangente à superfície z=f(x,y) nesse ponto;
  • a reta normal à superfície nesse ponto.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • ponto no domínio: \big(x_0,y_0\big)=\big(\ln(2),\,2\big);
  • a superfície é o gráfico z=f(x,y);
  • para obter o plano tangente é preciso conhecer f(x_0,y_0), f_x(x_0,y_0) e f_y(x_0,y_0);
  • para obter a reta normal é preciso a posição do ponto em \mathbb{R}^3 (isto é, (x_0,y_0,z_0)) e um vetor normal à superfície naquele ponto (que pode ser obtido a partir de f_x e f_y).

Passo 2

Calcular z_0=f(x_0,y_0), o valor da função no ponto dado.
f(x,y)=y e^{x+xy}.
No ponto \big(x_0,y_0\big)=\big(\ln(2),\,2\big) temos primeiro
x_0+ x_0 y_0 = \ln(2) + \ln(2)\cdot 2 = 3\ln(2) = \ln(2^3) = \ln(8).
Portanto
e^{x_0+x_0 y_0}=e^{\ln(8)}=8.
Logo
z_0=f(x_0,y_0)=y_0\cdot 8 = 2\cdot 8 = 16.
Comentário curto e motivador: já sabemos agora que o ponto do gráfico é \big(\ln(2),\,2,\,16\big). Boa! Vamos pegar as derivadas parciais para montar o plano.

Passo 3

Relembrando o que é derivada parcial (mini-aula curta e prática):
  • A derivada parcial de f em relação a x, denotada f_x, mede a taxa de variação de f quando apenas x muda e y fica fixo.
  • Para calcular f_x trata-se y como constante e aplica-se as regras usuais (produto, cadeia, etc.).
  • Analogamente para f_y, tratando x como constante.
Agora calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=y e^{x+xy}.
Defina g(x,y)=x+xy=x(1+y). Então f(x,y)=y\,e^{g(x,y)}.
Usando regra do produto e cadeia:
  • Para f_x: derivate y (é constante em relação a x) vezes e^{g} mais y vezes derivada de e^{g} (pela cadeia).
    Primeiro a derivada de g em relação a x é
    g_x = \frac{\partial}{\partial x}\big(x(1+y)\big)=1+y.
    Assim
    f_x = y\cdot e^{g}\cdot g_x = y(1+y)e^{g}.
  • Para f_y: use produto também (derivada de y é 1):
    f_y = 1\cdot e^{g} + y\cdot e^{g}\cdot g_y.
    Aqui
    g_y = \frac{\partial}{\partial y}\big(x(1+y)\big)=x,
    portanto
    f_y = e^{g} + y x e^{g} = e^{g}\big(1+xy\big).
Agora avaliamos essas derivadas no ponto \big(x_0,y_0\big)=\big(\ln(2),\,2\big). Já sabemos e^{g(x_0,y_0)}=8.
f_x(x_0,y_0)=y_0(1+y_0)e^{g(x_0,y_0)}=2\cdot(1+2)\cdot 8 = 2\cdot 3\cdot 8 = 48.
f_y(x_0,y_0)=e^{g(x_0,y_0)}\big(1+x_0 y_0\big)=8\big(1+ \ln(2)\cdot 2\big)=8\big(1+2\ln(2)\big).
Resumo dos valores que já precisamos:
  • ponto no espaço: \big(x_0,y_0,z_0\big)=\big(\ln(2),\,2,\,16\big);
  • derivadas parciais: f_x(x_0,y_0)=48 e f_y(x_0,y_0)=8\big(1+2\ln(2)\big).

Passo 4

Fórmula do plano tangente ao gráfico z=f(x,y) no ponto \big(x_0,y_0,z_0\big):
z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Explicando cada termo:
  • f(x_0,y_0)=z_0 é o ponto de ancoragem;
  • f_x(x_0,y_0) é a inclinação do plano na direção x;
  • f_y(x_0,y_0) é a inclinação do plano na direção y;
  • os termos (x-x_0) e (y-y_0) deslocam a expressão a partir do ponto.
Substituindo os valores calculados (sem expandir mais aqui):
z = 16 + 48\,(x-\ln(2)) + 8\big(1+2\ln(2)\big)\,(y-2).

Passo 5

Vetor normal à superfície e reta normal (mini-aula curta):
  • O gráfico z=f(x,y) tem vetor normal em (x_0,y_0) dado por \mathbf{n}=(-f_x(x_0,y_0),\,-f_y(x_0,y_0),\,1). Isso vem do fato de que a superfície é nível da função F(x,y,z)=z-f(x,y), cujo gradiente \nabla F = (-f_x,-f_y,1) é normal ao nível.
  • A reta normal é a reta que passa por (x_0,y_0,z_0) e tem direção \mathbf{n}. Uma forma paramétrica da reta, usando parâmetro t, é (x,y,z) = (x_0,y_0,z_0) + t\,\mathbf{n}.
Usando os valores obtidos:
\mathbf{n}=(-48,\,-8(1+2\ln(2)),\,1).
Assim a reta normal em coordenadas paramétricas (com parâmetro t) é
x = \ln(2) - 48\,t,\qquad y = 2 - 8\big(1+2\ln(2)\big)\,t,\qquad z = 16 + t.

Resposta

z = 16 + 48\,(x-\ln(2)) + 8\big(1+2\ln(2)\big)\,(y-2)
x = \ln(2) - 48\,t,\quad y = 2 - 8\big(1+2\ln(2)\big)\,t,\quad z = 16 + t

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