Use o Teorema da Estimativa do Resto e o método do Exemplo 3 para provar que a série de Taylor de e^{x} em torno de x=1 converge para e^{x} em qualquer x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série de Taylor de f(x)=e^x em torno de a=1 converge para e^x em todo x\in\mathbb{R}. Vamos usar o Teorema da Estimativa do Resto (forma de Lagrange) e depois mostrar que esse resto tende a zero quando n\to\infty.

Passo 2

Como todas as derivadas de f são f^{(k)}(x)=e^x, o polinômio de Taylor de ordem n em torno de 1 é
T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(1)}{k!}(x-1)^k =\sum_{k=0}^{n}\frac{e}{k!}(x-1)^k.

Passo 3

Pela forma de Lagrange do resto, existe \xi entre 1 e x tal que
R_n(x)=f(x)-T_n(x) =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-1)^{n+1} =\frac{e^{\xi}}{(n+1)!}(x-1)^{n+1}.

Passo 4

Note que \xi está no intervalo com extremos 1 e x, logo
e^{\xi}\le e^{\max\{1,x\}}.
Definindo M=e^{\max\{1,x\}}, obtemos o majorante
\bigl|R_n(x)\bigr|\le \frac{M}{(n+1)!}\,\bigl|x-1\bigr|^{n+1}.

Passo 5

Para ver que \bigl|R_n(x)\bigr|\to0, basta usar que, para qualquer constante A,
\lim_{n\to\infty}\frac{A^{n+1}}{(n+1)!}=0.
De fato, pelo teste da razão,
\frac{\displaystyle \frac{|x-1|^{n+2}}{(n+2)!}}{\displaystyle \frac{|x-1|^{n+1}}{(n+1)!}} =\frac{|x-1|}{n+2}\;\xrightarrow[n\to\infty]{}0,
logo a sequência tende a zero. Multiplicando por M (constante fixa) continua tendendo a zero.

Passo 6

Como o resto R_n(x)\to0 quando n\to\infty, concluímos que
T_n(x)\;\longrightarrow\;e^x,
ou seja, a série de Taylor em torno de 1 converge para e^x em todo x.

Resposta

A série de Taylor de e^x em torno de x=1 converge para e^x para todo x, pois o resto de Lagrange satisfaz
\bigl|R_n(x)\bigr|\le \frac{e^{\max\{1,x\}}}{(n+1)!}\bigl|x-1\bigr|^{n+1}\xrightarrow[n\to\infty]{}0.

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