Use o Teorema da Estimativa do Resto e o método do Exemplo 3 para provar que a série de Taylor de e^{x} em torno de x=1 converge para e^{x} em qualquer x.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série de Taylor de f(x)=e^x em torno de a=1 converge para e^x em todo x\in\mathbb{R}. Vamos usar o Teorema da Estimativa do Resto (forma de Lagrange) e depois mostrar que esse resto tende a zero quando n\to\infty.
Passo 2
Como todas as derivadas de f são f^{(k)}(x)=e^x, o polinômio de Taylor de ordem n em torno de 1 é