Use a Fórmula (17) da série binomial para obter a série de Maclaurin de
\frac{1}{(1+x)^{3}}\

Passo 1

O enunciado pede para obter a série de Maclaurin de
\frac{1}{(1+x)^{3}}
usando a fórmula da série binomial. O conteúdo envolvido é a expansão de (1+x)^{\alpha} em série de potências para \alpha=-3, válida para |x|<1.

Passo 2

Recordando a fórmula da série binomial (para |x|<1):
(1+x)^{\alpha} \;=\;\sum_{k=0}^{\infty} \binomial{\alpha}{k}\,x^{k},
onde
\binomial{\alpha}{k}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}.

Passo 3

Aqui temos \alpha=-3, portanto
\frac{1}{(1+x)^{3}}=(1+x)^{-3} =\sum_{k=0}^{\infty}\binomial{-3}{k}\,x^{k}.

Passo 4

Vamos simplificar o coeficiente \binomial{-3}{k}:
\binomial{-3}{k} =\frac{(-3)(-4)\cdots(-3-(k-1))}{k!} =\frac{(-1)^{k}\,3\cdot4\cdot5\cdots(k+2)}{k!} =\frac{(-1)^{k}}{k!}\,\frac{(k+2)!}{2!} =\;(-1)^{k}\,\frac{(k+2)(k+1)}{2}.

Passo 5

Substituindo neste somatório, obtemos
\frac{1}{(1+x)^{3}} =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{(k+2)(k+1)}{2}\;x^{k}.
Para ilustrar, os primeiros termos são:
1 \;-\;3x\;+\;6x^{2}\;-\;10x^{3}\;+\;15x^{4}\;-\cdots.

Resposta

\frac{1}{(1+x)^{3}} =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{(k+2)(k+1)}{2}\;x^{k}, \quad |x|<1.

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