Use o Teorema da Estimativa do Resto e o método do Exemplo 1 para provar que a série de Taylor de sen x em torno de x=\pi / 4 converge para sen x em qualquer x.

Passo 1

O enunciado pede para provar que a série de Taylor de \sin x centrada em a=\pi/4 converge para \sin x em todo x\in\mathbb{R}. Vamos usar o Teorema da Estimativa do Resto (Lagrange) e mostrar que o resto tende a zero quando o grau da aproximação vai a infinito.

Passo 2

Recordando a fórmula de Taylor de ordem n com resto de Lagrange, para f(x)=\sin x em torno de a=\pi/4 temos
\sin x \;=\; \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(\pi/4)}{k!}\,(x-\tfrac{\pi}{4})^k \;+\; R_n(x),
onde existe \xi entre a e x tal que
R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\,(x-\tfrac{\pi}{4})^{n+1}.

Passo 3

Para aplicar a estimativa do resto, precisamos de uma cota para \bigl|f^{(n+1)}(\xi)\bigr|. Como todas as derivadas de \sin x são \pm\sin ou \pm\cos, vale
\bigl|f^{(n+1)}(\xi)\bigr| \;=\; \bigl|\sin\xi\bigr| \quad\text{ou}\quad \bigl|\cos\xi\bigr| \;\le\;1.

Passo 4

Daí
\bigl|R_n(x)\bigr| \;=\; \frac{\bigl|f^{(n+1)}(\xi)\bigr|}{(n+1)!}\,\bigl|x-\tfrac{\pi}{4}\bigr|^{n+1} \;\le\; \frac{\bigl|x-\tfrac{\pi}{4}\bigr|^{n+1}}{(n+1)!}.

Passo 5

Sabemos que, para qualquer constante A, a sequência
\frac{A^{n+1}}{(n+1)!} \;\longrightarrow\;0 \quad\text{quando }n\to\infty.
Tomando A=\bigl|x-\tfrac{\pi}{4}\bigr|, conclui-se que \bigl|R_n(x)\bigr|\to0 para todo x.

Resposta

A série de Taylor de \sin x em torno de x=\pi/4 converge para \sin x em qualquer x.

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