Use o Teorema da Estimativa do Resto e o método do Exemplo 1 para provar que a série de Taylor de sen x em torno de x=\pi / 4 converge para sen x em qualquer x.
Passo 1
O enunciado pede para provar que a série de Taylor de \sin x centrada em a=\pi/4 converge para \sin x em todo x\in\mathbb{R}. Vamos usar o Teorema da Estimativa do Resto (Lagrange) e mostrar que o resto tende a zero quando o grau da aproximação vai a infinito.
Passo 2
Recordando a fórmula de Taylor de ordem n com resto de Lagrange, para f(x)=\sin x em torno de a=\pi/4 temos
\sin x \;=\; \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(\pi/4)}{k!}\,(x-\tfrac{\pi}{4})^k \;+\; R_n(x),
Para aplicar a estimativa do resto, precisamos de uma cota para \bigl|f^{(n+1)}(\xi)\bigr|. Como todas as derivadas de \sin x são \pm\sin ou \pm\cos, vale