Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a Integral Definida
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - A tarefa é obter o valor numérico da integral definida, ou seja, um número real.
Passo 2
Lembrete teórico principal (Teorema Fundamental do Cálculo, versão prática): se
é uma primitiva (antiderivada) de
em um intervalo que contém
e
, isto é,
para todo
nesse intervalo, então
Explicando as palavras:
-
é a função que estamos integrando (a integranda). -
é qualquer função cuja derivada é (chamamos de primitiva ou antiderivada). - O símbolo
representa a área algébrica sob a curva entre e .
Na prática, para calcular uma integral definida, basta achar uma primitivade e calcular .
Passo 3
Outra propriedade útil (linearidade da integral): para constantes
e funções
,
Vamos aplicar essa propriedade à nossa integranda
Isso permite achar primitivas de termos mais simples e somá-las.
Passo 4
Regra prática para primitivas (regra da potência): para
,
onde
é a constante de integração (não necessária ao avaliar uma integral definida, porque ela se cancela). Aqui
é um número real que indica a potência de
.
Aplicando a regra aos termos:
- Para
, tomando ,
- Para
, que é , tomando ,
Portanto uma primitiva de
é
Aqui
, como se verifica ao derivar
.
Passo 5
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: calcular
.
Primeiro :
Primeiro
Depois
:
Portanto