Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a Integral Definida
\int_{3}^{6}\left(x^{2}-2 x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{3}^{6}\left(x^{2}-2 x\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \;x^{2}-2x\;.
  • Os limites de integração são a=3 (inferior) e b=6 (superior).
  • A tarefa é obter o valor numérico da integral definida, ou seja, um número real.

Passo 2

Lembrete teórico principal (Teorema Fundamental do Cálculo, versão prática): se F é uma primitiva (antiderivada) de f em um intervalo que contém a e b, isto é, F'(x)=f(x) para todo x nesse intervalo, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Explicando as palavras:
  • f(x) é a função que estamos integrando (a integranda).
  • F(x) é qualquer função cuja derivada é f(x) (chamamos F de primitiva ou antiderivada).
  • O símbolo \int_{a}^{b} f(x)\,dx representa a área algébrica sob a curva f entre x=a e x=b.
    Na prática, para calcular uma integral definida, basta achar uma primitiva F de f e calcular F(b)-F(a).

Passo 3

Outra propriedade útil (linearidade da integral): para constantes c_1,c_2 e funções g,h,
\int (c_1 g(x) + c_2 h(x))\,dx = c_1\int g(x)\,dx + c_2\int h(x)\,dx.
Vamos aplicar essa propriedade à nossa integranda \;x^{2}-2x\;:
\int_{3}^{6}\left(x^{2}-2 x\right)\,dx = \int_{3}^{6} x^{2}\,dx - 2\int_{3}^{6} x\,dx.
Isso permite achar primitivas de termos mais simples e somá-las.

Passo 4

Regra prática para primitivas (regra da potência): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração (não necessária ao avaliar uma integral definida, porque ela se cancela). Aqui n é um número real que indica a potência de x.
Aplicando a regra aos termos:
  • Para x^{2}, tomando n=2,
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} + C.
  • Para x, que é x^{1}, tomando n=1,
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C.
Portanto uma primitiva de x^{2}-2x é
F(x)=\frac{x^{3}}{3} - 2\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{3}}{3} - x^{2}.
Aqui F'(x)=x^{2}-2x, como se verifica ao derivar F.

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: calcular F(6)-F(3).
Primeiro F(6):
F(6)=\frac{6^{3}}{3}-6^{2}=\frac{216}{3}-36=72-36=36.
Depois F(3):
F(3)=\frac{3^{3}}{3}-3^{2}=\frac{27}{3}-9=9-9=0.
Portanto
\int_{3}^{6}\left(x^{2}-2 x\right)\,dx = F(6)-F(3)=36-0=36.

Resposta

36

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