Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a Integral Definida
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas e observações úteis:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - A expressão
está bem definida e contínua para , logo o produto é contínuo em e a integral existe.
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): é conveniente eliminar a raiz quadrada usando a substituição que transforme
numa nova variável. Vou aplicar a substituição
Agora calculo o diferencial
. Diferenciando
em relação a
obtém-se
Isolando
temos
Também preciso transformar os limites de integração para a variável
. Quando
,
Quando
,
Passo 3
Substituo tudo na integral. A raiz fica
e
. Assim
Passo 4
Agora aplico a regra de integração da potência: para
,
Aqui
, logo
Voltando à integral com o fator
,
Calculo
. Lembre que
, então
Portanto
Passo 5
Breve checagem de coerência: para
tem-se
e
, então o integrando
. Logo o resultado negativo faz sentido.