Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a Integral Definida
\int_{-2}^{0} w \sqrt{4-w^{2}} d w

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-2}^{0} w \sqrt{4-w^{2}}\,dw.
Informações dadas e observações úteis:
  • O integrando é w\sqrt{4-w^{2}}.
  • Os limites de integração são w=-2 (inferior) e w=0 (superior).
  • A expressão \sqrt{4-w^{2}} está bem definida e contínua para -2\le w\le2, logo o produto w\sqrt{4-w^{2}} é contínuo em [-2,0] e a integral existe.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): é conveniente eliminar a raiz quadrada usando a substituição que transforme 4-w^{2} numa nova variável. Vou aplicar a substituição
u=4-w^{2}.
Agora calculo o diferencial du. Diferenciando u em relação a w obtém-se
du = -2w\,dw.
Isolando w\,dw temos
w\,dw = -\tfrac{1}{2}\,du.
Também preciso transformar os limites de integração para a variável u. Quando w=-2,
u = 4-(-2)^{2} = 4-4 = 0.
Quando w=0,
u = 4-0^{2} = 4.

Passo 3

Substituo tudo na integral. A raiz fica \sqrt{4-w^{2}}=\sqrt{u}=u^{1/2} e w\,dw = -\tfrac{1}{2}du. Assim
\int_{-2}^{0} w \sqrt{4-w^{2}}\,dw = \int_{u=0}^{u=4} \left(u^{1/2}\right)\left(-\tfrac{1}{2}\,du\right) = -\tfrac{1}{2}\int_{0}^{4} u^{1/2}\,du.

Passo 4

Agora aplico a regra de integração da potência: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, logo
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Voltando à integral com o fator -\tfrac{1}{2},
-\tfrac{1}{2}\int_{0}^{4} u^{1/2}\,du = -\tfrac{1}{2}\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{0}^{4} = -\tfrac{1}{3}\left[u^{3/2}\right]_{0}^{4}.
Calculo 4^{3/2}. Lembre que a^{3/2}=(\sqrt{a})^{3}, então
4^{3/2} = (\sqrt{4})^{3} = 2^{3} = 8.
Portanto
-\tfrac{1}{3}\left[4^{3/2}-0^{3/2}\right] = -\tfrac{1}{3}\cdot 8 = -\tfrac{8}{3}.

Passo 5

Breve checagem de coerência: para w\in[-2,0] tem-se w\le 0 e \sqrt{4-w^{2}}\ge 0, então o integrando w\sqrt{4-w^{2}}\le 0. Logo o resultado negativo faz sentido.

Resposta

-\dfrac{8}{3}

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