Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as seguintes integrais ou explique porque elas não existem:
l) integralpi^2 pi csc ^2(theta) d theta

Passo 1

Resumindo o enunciado: a gente quer calcular a integral de
integralpi^2pi csc^2(theta),dtheta
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. O conteúdo é encontrar a antiderivada de csc^2theta e aplicar limites.

Passo 2

Para achar a antiderivada, lembramos que
ddthetacottheta=-csc^2theta
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integral csc^2theta,dtheta=-cottheta + C

Passo 3

Mas note que csc^2theta=1/sin^2theta fica infinita sempre que sintheta=0. Em theta=pi e theta=2pi, temos sintheta=0, então a integral é imprópria: o integrando não é contínuo em todo o intervalo.
Definimos a integral imprópria como
integralpi^2picsc^2theta,dtheta=limatopi^+limbto2pi^-integrala^bcsc^2theta,dtheta

Passo 4

Aplicando a antiderivada de a a b:
integrala^bcsc^2theta,dtheta=[-cottheta]a^b=-cot b+cot a

Passo 5

Agora olhamos os limites. Quando atopi^+, sin ato0^+ e cos ato-1, então cot a=cos a/sin ato-infty. Quando bto2pi^-, sin bto0^- e cos bto1, logo cot bto-infty e -cot bto+infty. Como já dá divergência na vizinhança de pi, essa integral não converge.

Passo 6

Portanto, a integral imprópria diverge — não existe valor finito.

Resposta

A integral não existe (diverge).

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