Usando o método da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos os casos, assuma -infty e t>0.
l ut t=ux x t u(x, 0)=f(x), ut(x, 0)=g(x)

Passo 1

A questão pede para usar a transformada de Fourier em x para resolver o PDE utt=uxxt, com u(x,0)=f(x) e ut(x,0)=g(x). Vamos tratar -infty, t>0, aplicar FT em x e lidar com a ODE resultante em t.

Passo 2

Faça a transformada de Fourier em x definindo hat u(k,t)= Fxu(x,t). Como Fxutt=hat utt(k,t) e Fxuxxt=-k^2hat ut(k,t), obtemos a ODE
hat utt(k,t)=-k^2,hat ut(k,t)

Passo 3

Defina w(k,t)=hat ut(k,t). A equação vira wt + k^2 w=0 com condição inicial w(k,0)=hat g(k). A solução é
w(k,t)=hat g(k)e^-k^2t

Passo 4

Para recuperar hat u(k,t), integramos em t usando hat u(k,0)=hat f(k):
hat u(k,t)=hat f(k)+integral0^t w(k,s),ds=hat f(k)+hat g(k)1-e^-k^2tk^2

Passo 5

Invertendo a transformada de Fourier, obtemos
u(x,t)=f(x)+12piintegral-infty^inftye^ikx,hat g(k)1-e^-k^2tk^2,dk

Passo 6

Reconhecemos que
12piintegral e^ik(x-y)1-e^-k^2tk^2,dk=integral0^t12raizpi se^-(x-y)^24s,ds,
logo a solução final em forma de convolução com o núcleo de calor é
u(x,t)=f(x)+integral-infty^inftyg(y)gl(integral0^t12raizpi se^-(x-y)^24s,dsgr)dy

Resposta

u(x,t)=f(x)+integral-infty^inftyg(y)(integral0^t12raizpi se^-(x-y)^24s,ds)dy

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