Resolva o seguinte problema de valor inicial e condição de contorno, utilizando o método da separação de variáveis, onde 0 e t>0.
l ut=14 ux x u(x, 0)=ll 20 & se |x| <= 1, 0 & se |x|>1 ,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação que descreve como a temperatura muda ao longo do tempo em uma barra (ou linha) que vai de $ x = 0 $ até $ x = \pi $. A equação é $ u_t = \frac{1}{4} u_{xx} $, que é conhecida como a equação do calor. Nosso objetivo é encontrar a função $ u(x, t) $ que satisfaz essa equação, com a condição inicial de que a temperatura é 20 dentro de $ |x| \leq 1 $ e 0 fora disso no tempo $ t = 0 $. Para resolver isso, vamos usar o método da separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método da separação de variáveis. Ele assume que a solução $ u(x, t) $ pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de $ x $ e outra que depende apenas de $ t $. Ou seja, $ u(x, t) = X(x)T(t) $.

Passo 3

Agora, substituímos $ u(x, t) = X(x)T(t) $ na equação do calor:
u(x, t) = X(x)T(t)
Vamos dividir ambos os lados por $ X(x)T(t) $:
X(x)T'(t) = 14 X''(x)T(t)
Aqui, $ \lambda $ é uma constante de separação.

Passo 4

Isso nos dá duas equações separadas:
  1. Para $ T(t) $:
T(t)
  1. Para $ X(x) $:
T'(t) + lambda4 T(t) = 0
Vamos resolver cada uma delas.

Passo 5

Começando com a equação para $ X(x) $:
X(x)
As soluções desse tipo de equação dependem do valor de $ \lambda $. Para termos soluções não triviais, $ \lambda $ deve ser positivo. Então, vamos definir $ \lambda = \left(\frac{n}{2}\right)^2 $, onde $ n $ é um número inteiro positivo.
Então, a solução geral para $ X(x) $ é:
X''(x) + lambda X(x) = 0

Passo 6

Agora, vamos para a equação de $ T(t) $:
T(t)
Substituindo $ \lambda = \left(\frac{n}{2}\right)^2 $:
T'(t) + lambda4 T(t) = 0
A solução dessa equação é:
lambda = (n2)^2

Passo 7

Então, combinando $ X_n(x) $ e $ T_n(t) $, temos a solução para cada modo $ n $:
Xn(x)

Passo 8

Agora, aplicamos as condições de contorno. Geralmente, assume-se que $ u(0, t) = u(\pi, t) = 0 $. Aplicando $ u(0, t) = 0 $:
u(0, t) = u(pi, t) = 0
Então, $ A_n = 0 $. A solução simplifica para:
u(0, t) = 0

Passo 9

A solução geral é a soma de todas as soluções individuais:
u(x, t) = sumn=1^infty Bn sin(n2x) e^-n^216 t

Passo 10

Agora, usamos a condição inicial para encontrar os coeficientes $ B_n $:
Bn
Essa série de Fourier representa a função inicial. Para encontrar $ B_n $, usamos a fórmula dos coeficientes de Fourier para funções definidas em $ [0, \pi] $.

Passo 11

Calculamos $ B_n $ usando:
Bn
Como $ u(x, 0) = 20 $ para $ 0 \leq x \leq 1 $ e 0 para $ 1 < x \leq \pi $, a integral fica:
Bn = 2pi integral0^pi u(x, 0) sin(n2x) dx

Passo 12

Resolvendo a integral:
integral0^1 sin(n2x) dx = [ -2n cos(n2x) ]0^1 = -2n cos(n2) + 2n cos(0) = 2n (1 - cos(n2))
Então,
Bn = 40pi cdot 2n (1 - cos(n2)) = 80pi n (1 - cos(n2))

Passo 13

Finalmente, substituímos $ B_n $ na expressão da solução geral:
Bn

Resposta

A solução do problema é dada por:
u(x, t) = sumn=1^infty 80pi n (1 - cos(n2)) sin(n2x) e^-n^216 t

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