Resolva o seguinte problema de valor inicial e condição de contorno, utilizando o método da separação de variáveis, onde
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação que descreve como a temperatura muda ao longo do tempo em uma barra (ou linha) que vai de $ x = 0 $ até $ x = \pi $. A equação é $ u_t = \frac{1}{4} u_{xx} $, que é conhecida como a equação do calor. Nosso objetivo é encontrar a função $ u(x, t) $ que satisfaz essa equação, com a condição inicial de que a temperatura é 20 dentro de $ |x| \leq 1 $ e 0 fora disso no tempo $ t = 0 $. Para resolver isso, vamos usar o método da separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método da separação de variáveis. Ele assume que a solução $ u(x, t) $ pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de $ x $ e outra que depende apenas de $ t $. Ou seja, $ u(x, t) = X(x)T(t) $.
Passo 3
Agora, substituímos $ u(x, t) = X(x)T(t) $ na equação do calor:
Vamos dividir ambos os lados por $ X(x)T(t) $:
Aqui, $ \lambda $ é uma constante de separação.
Passo 4
Isso nos dá duas equações separadas:
- Para $ T(t) $:
- Para $ X(x) $:
Vamos resolver cada uma delas.
Passo 5
Começando com a equação para $ X(x) $:
As soluções desse tipo de equação dependem do valor de $ \lambda $. Para termos soluções não triviais, $ \lambda $ deve ser positivo. Então, vamos definir $ \lambda = \left(\frac{n}{2}\right)^2 $, onde $ n $ é um número inteiro positivo.
Então, a solução geral para $ X(x) $ é:
Passo 6
Agora, vamos para a equação de $ T(t) $:
Substituindo $ \lambda = \left(\frac{n}{2}\right)^2 $:
A solução dessa equação é:
Passo 7
Então, combinando $ X_n(x) $ e $ T_n(t) $, temos a solução para cada modo $ n $:
Passo 8
Agora, aplicamos as condições de contorno. Geralmente, assume-se que $ u(0, t) = u(\pi, t) = 0 $. Aplicando $ u(0, t) = 0 $:
Então, $ A_n = 0 $. A solução simplifica para:
Passo 9
A solução geral é a soma de todas as soluções individuais:
Passo 10
Agora, usamos a condição inicial para encontrar os coeficientes $ B_n $:
Essa série de Fourier representa a função inicial. Para encontrar $ B_n $, usamos a fórmula dos coeficientes de Fourier para funções definidas em $ [0, \pi] $.
Passo 11
Calculamos $ B_n $ usando:
Como $ u(x, 0) = 20 $ para $ 0 \leq x \leq 1 $ e 0 para $ 1 < x \leq \pi $, a integral fica:
Passo 12
Resolvendo a integral:
Então,
Passo 13
Finalmente, substituímos $ B_n $ na expressão da solução geral:
Resposta
A solução do problema é dada por: