Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as seguintes integrais ou explique porque elas não existem:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral ou explicar por que ela não existe:
Informações relevantes fornecidas:
é o integrando; o intervalo de integração é
. Não há figuras nem condições adicionais.
Passo 2
Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo. Vou primeiro lembrar e explicar o que ele diz, cuidadosamente e de forma didática.
O Teorema Fundamental do Cálculo (parte usada aqui) afirma o seguinte:
então
Explicando cada termo:
-
é a função que estamos integrando (aqui ). -
é o intervalo de integração (aqui e ). -
é uma primitiva (antiderivada) de : isto significa que ao derivar obtemos , ou seja . - A condição de continuidade em
garante que existe pelo menos uma primitiva e que a fórmula acima vale.
Antes de aplicar, verificamos a condição:
é um polinômio, e polinômios são funções contínuas em toda a reta real. Logo
é contínua em
e podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 3
Agora precisamos achar uma primitiva de
. Para isso usamos a regra da potência (regra básica de antiderivação):
Regra da potência para antiderivadas:
onde:
-
é o expoente (aqui ), -
é a constante de integração (irrelevante para integral definida, pois cancela ao avaliar ).
Justificação rápida da regra: se
, então por diferenciação
o que mostra que
é de fato uma primitiva de
.
Aplicando com
:
Passo 4
Portanto uma primitiva conveniente é
Cheque rápido (para ficar seguro): derivando,
confirmando que
é primitiva de
.
Passo 5
Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
Vamos calcular cada valor com calma.
Calculemos
passo a passo:
E
.
Substituindo:
Posso dar também uma aproximação decimal (opcional) para intuição:
(uso vírgula como separador decimal conforme padrão solicitado).