Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as seguintes integrais ou explique porque elas não existem:
\int_{-1}^{4} x^{6} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral ou explicar por que ela não existe:
\int_{-1}^{4} x^{6}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
\;x^{6} é o integrando; o intervalo de integração é [-1,4]. Não há figuras nem condições adicionais.

Passo 2

Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo. Vou primeiro lembrar e explicar o que ele diz, cuidadosamente e de forma didática.
O Teorema Fundamental do Cálculo (parte usada aqui) afirma o seguinte:
\text{Se } f \text{ é contínua em }[a,b]\text{ e }F\text{ é uma primitiva de }f\text{ em }[a,b]\\ (\text{ou seja }F'(x)=f(x)),éíé
então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Explicando cada termo:
  • \;f é a função que estamos integrando (aqui \;f(x)=x^{6}).
  • \;[a,b] é o intervalo de integração (aqui \;a=-1 e \;b=4).
  • \;F é uma primitiva (antiderivada) de \;f: isto significa que ao derivar \;F obtemos \;f, ou seja \;F'(x)=f(x).
  • A condição de continuidade em [a,b] garante que existe pelo menos uma primitiva e que a fórmula acima vale.
Antes de aplicar, verificamos a condição: x^{6} é um polinômio, e polinômios são funções contínuas em toda a reta real. Logo x^{6} é contínua em [-1,4] e podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 3

Agora precisamos achar uma primitiva de \;f(x)=x^{6}. Para isso usamos a regra da potência (regra básica de antiderivação):
Regra da potência para antiderivadas:
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\qquad\text{para }n\neq -1,
onde:
  • \;n é o expoente (aqui \;n=6),
  • \;C é a constante de integração (irrelevante para integral definida, pois cancela ao avaliar F(b)-F(a)).
Justificação rápida da regra: se \;F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}, então por diferenciação
F'(x)=\frac{n+1}{n+1}x^{n}=x^{n},
o que mostra que F é de fato uma primitiva de x^{n}.
Aplicando com \;n=6:
\int x^{6}\,dx = \frac{x^{7}}{7} + C.

Passo 4

Portanto uma primitiva conveniente é
F(x)=\frac{x^{7}}{7}.
Cheque rápido (para ficar seguro): derivando,
F'(x)=\frac{7x^{6}}{7}=x^{6},
confirmando que F é primitiva de x^{6}.

Passo 5

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{-1}^{4} x^{6}\,dx = F(4)-F(-1) = \frac{4^{7}}{7} - \frac{(-1)^{7}}{7}.
Vamos calcular cada valor com calma.
Calculemos \;4^{7} passo a passo:
4^{2}=16,\qquad 4^{3}=64,\qquad 4^{4}=256,\qquad 4^{5}=1024,\qquad 4^{6}=4096,\qquad 4^{7}=16384.
E (-1)^{7}=-1.
Substituindo:
\frac{4^{7}}{7} - \frac{(-1)^{7}}{7} = \frac{16384}{7} - \frac{-1}{7} = \frac{16384+1}{7} = \frac{16385}{7}.
Posso dar também uma aproximação decimal (opcional) para intuição:
\frac{16385}{7}\approx 2340,714285\ldots
(uso vírgula como separador decimal conforme padrão solicitado).

Resposta

\dfrac{16385}{7}

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