Calcule as integrais fazendo as seguintes substituições:
\int \cos (3 x) d x, u=3 x

Passo 1

O enunciado pede que você calcule a integral dada usando a substituição indicada. Informações fornecidas:
\displaystyle \int \cos(3x)\,dx com a substituição u=3x.
Pergunta clara: calcular a integral \displaystyle \int \cos(3x)\,dx aplicando u=3x.

Passo 2

Calcule a diferencial correspondente à substituição. Se u=3x, derivando ambos os lados em relação a x obtemos
\frac{du}{dx}=3.
Isto significa que du=3\,dx. Agora isolamos dx para substituir na integral:
dx=\frac{du}{3}.
Explicação curta: du representa a pequena variação de u quando x varia; dividir por dx dá a derivada du/dx.

Passo 3

Substitua u e dx na integral original. Como \cos(3x)=\cos(u) e dx=\dfrac{du}{3}, temos
\int \cos(3x)\,dx = \int \cos(u)\cdot\frac{du}{3}.

Passo 4

Fatore a constante \dfrac{1}{3} para fora da integral:
\int \cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\int \cos(u)\,du.
Observação didática: é sempre válido tirar constantes multiplicativas para fora da integral.

Passo 5

Integre \cos(u). Sabemos que a derivada de \sin(u) é \cos(u), ou seja,
\frac{d}{du}\sin(u)=\cos(u).
Portanto
\int \cos(u)\,du=\sin(u)+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo o resultado no passo anterior:
\frac{1}{3}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{3}\big(\sin(u)+C\big)=\frac{1}{3}\sin(u)+C,
já que uma constante multiplicada por outra constante continua sendo uma constante genérica que chamamos de C.

Passo 7

Volte à variável original x usando u=3x:
\frac{1}{3}\sin(u)+C=\frac{1}{3}\sin(3x)+C.
Verificação rápida (checagem): derivando \dfrac{1}{3}\sin(3x) em relação a x obtemos
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}\sin(3x)\right)=\frac{1}{3}\cos(3x)\cdot 3=\cos(3x),
que é exatamente o integrando original, então o resultado está correto.

Resposta

\dfrac{1}{3}\sin(3x)+C

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