Calcule as integrais fazendo as seguintes substituições:
Passo 1
O enunciado pede que você calcule a integral dada usando a substituição indicada. Informações fornecidas:
com a substituição
.
Pergunta clara: calcular a integral aplicando
.
Pergunta clara: calcular a integral
Passo 2
Calcule a diferencial correspondente à substituição. Se
, derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Isto significa que
. Agora isolamos
para substituir na integral:
Explicação curta:
representa a pequena variação de
quando
varia; dividir por
dá a derivada
.
Passo 3
Substitua
e
na integral original. Como
e
, temos
Passo 4
Fatore a constante
para fora da integral:
Observação didática: é sempre válido tirar constantes multiplicativas para fora da integral.
Passo 5
Integre
. Sabemos que a derivada de
é
, ou seja,
Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituindo o resultado no passo anterior:
já que uma constante multiplicada por outra constante continua sendo uma constante genérica que chamamos de
.
Passo 7
Volte à variável original
usando
:
Verificação rápida (checagem): derivando
em relação a
obtemos
que é exatamente o integrando original, então o resultado está correto.