Use o Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a derivada em relação a
da função definida por
Informações dadas:
- A integral tem integrando
. - O limite inferior é
e o limite superior é . - A variável de integração é
. - A função
está definida apenas para , portanto a expressão só faz sentido para .
Passo 2
Enunciado do Teorema Fundamental do Cálculo (parte usada aqui) — explicação didática:
Seja uma função contínua em um intervalo que contém
e
. Defina
Seja
Então
é diferenciável e
Intuição por trás disso (passo a passo): para um pequeno incremento
,
Se
é pequeno, dentro do intervalo
a função
varia pouco, então a integral é aproximada por
. Dividindo por
e tomando limite
obtemos
. Matematicamente, a continuidade de
garante que essa aproximação vira igualdade no limite.
Passo 3
Verificação da hipótese do teorema:
A função é contínua para todo
. Como o limite inferior da integral é
, o intervalo onde consideramos
será tal que
. Logo a hipótese de continuidade está satisfeita e podemos aplicar o teorema diretamente para
.
A função
Passo 4
Aplicação direta do teorema:
Pela observação do passo anterior, com e
, temos
Pela observação do passo anterior, com
para todo
. Ou seja, a derivada da integral em relação a
é simplesmente o integrando avaliado em
.
Passo 5
Verificação alternativa (útil para prova ou checar erro) — calcule a primitiva de
e derive:
Integração por partes para encontrar uma primitiva de . Escolha
e
. Então
e
. Assim
Integração por partes para encontrar uma primitiva de
Portanto
já que
. Derivando essa expressão:
confirmando o resultado do passo anterior.
Passo 6
Observações finais e domínio:
- O resultado vale para todo
, que é o domínio natural do integrando . - Em
a integral não está definida (pelo menos não na forma dada), então não consideramos esses .