Use o Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada das seguintes funções:
\int_{1}^{x} \ln (t) d t

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a derivada em relação a x da função definida por
F(x)=\int_{1}^{x} \ln(t)\,dt.
Informações dadas:
  • A integral tem integrando \ln(t).
  • O limite inferior é 1 e o limite superior é x.
  • A variável de integração é t.
  • A função \ln(t) está definida apenas para t>0, portanto a expressão só faz sentido para x>0.

Passo 2

Enunciado do Teorema Fundamental do Cálculo (parte usada aqui) — explicação didática:
Seja f uma função contínua em um intervalo que contém a e x. Defina
F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt.
Então F é diferenciável e
F'(x)=f(x).
Intuição por trás disso (passo a passo): para um pequeno incremento h,
F(x+h)-F(x)=\int_{x}^{x+h} f(t)\,dt.
Se h é pequeno, dentro do intervalo [x,x+h] a função f(t) varia pouco, então a integral é aproximada por f(x)\cdot h. Dividindo por h e tomando limite h\to0 obtemos f(x). Matematicamente, a continuidade de f garante que essa aproximação vira igualdade no limite.

Passo 3

Verificação da hipótese do teorema:
A função \ln(t) é contínua para todo t>0. Como o limite inferior da integral é 1>0, o intervalo onde consideramos x será tal que x>0. Logo a hipótese de continuidade está satisfeita e podemos aplicar o teorema diretamente para x>0.

Passo 4

Aplicação direta do teorema:
Pela observação do passo anterior, com f(t)=\ln(t) e F(x)=\int_{1}^{x}\ln(t)\,dt, temos
F'(x)=\ln(x),
para todo x>0. Ou seja, a derivada da integral em relação a x é simplesmente o integrando avaliado em t=x.

Passo 5

Verificação alternativa (útil para prova ou checar erro) — calcule a primitiva de \ln(t) e derive:
Integração por partes para encontrar uma primitiva de \ln(t). Escolha u=\ln(t) e dv=dt. Então du=\dfrac{1}{t}\,dt e v=t. Assim
\int \ln(t)\,dt = t\ln(t)-\int t\cdot \frac{1}{t}\,dt = t\ln(t)-\int 1\,dt = t\ln(t)-t + C.
Portanto
\int_{1}^{x}\ln(t)\,dt = \bigl[t\ln(t)-t\bigr]_{1}^{x} = x\ln(x)-x - (1\cdot\ln(1)-1) = x\ln(x)-x+1,
já que \ln(1)=0. Derivando essa expressão:
\frac{d}{dx}\bigl(x\ln(x)-x+1\bigr)=\ln(x)+1 -1=\ln(x),
confirmando o resultado do passo anterior.

Passo 6

Observações finais e domínio:
  • O resultado vale para todo x>0, que é o domínio natural do integrando \ln(t).
  • Em x\le 0 a integral não está definida (pelo menos não na forma dada), então não consideramos esses x.

Resposta

\ln(x), para x>0.

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