Use O Teorema de Gauss para calcular o fluxo na superfície formada por x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 e z=1, onde \vec{F}(x, y, z)=\left(x^{2}, y z, x^{10}+y\right).

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec{F}(x,y,z)=(x^2,yz,x^{10}+y) através da superfície fechada S formada pela parte da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4
acima do plano z=1 mais o disco z=1 que fecha a região.
Conteúdo: Teorema de Gauss (ou divergência). Vamos precisar calcular \nabla\!\cdot\!\vec{F} e transformar o fluxo num integral triplo.

Passo 2

Calculamos a divergência de \vec{F}:
\nabla\!\cdot\!\vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x^2) +\frac{\partial}{\partial y}(yz) +\frac{\partial}{\partial z}(x^{10}+y) =2x+z+0 =2x+z.

Passo 3

Pelo Teorema de Gauss,
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S} =\iiint_{E}(2x+z)\,dV,
onde E é o volume limitado pela esfera x^2+y^2+z^2\le4 e z\ge1.
Como E é simétrico em x\mapsto -x, o termo 2x se anula, restando
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S} =\iiint_{E}z\,dV.

Passo 4

Usamos coordenadas cilíndricas \,(r,\theta,z):
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dV=r\,dr\,d\theta\,dz,
com 0\le r\le\sqrt{3}, 0\le\theta\le2\pi, 1\le z\le\sqrt{4-r^2}.
Então
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S} =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\sqrt{3}}\!\int_{1}^{\sqrt{4-r^2}}z\,r\,dz\,dr\,d\theta.
Primeiro integral em z:
\int_{1}^{\sqrt{4-r^2}}z\,dz =\frac{1}{2}\bigl[(4-r^2)-1\bigr] =\frac{3-r^2}{2}.
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\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S} =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{3-r^2}{2}\,r\,dr\,d\theta =\pi\int_{0}^{\sqrt{3}}\bigl(3r-r^3\bigr)\,dr.
Calculando
\int_{0}^{\sqrt{3}}3r\,dr=\frac{3}{2}\,(\sqrt{3})^2=\frac{9}{2}, \quad \int_{0}^{\sqrt{3}}r^3\,dr=\frac{(\sqrt{3})^4}{4}=\frac{9}{4},
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\pi\Bigl(\tfrac{9}{2}-\tfrac{9}{4}\Bigr) =\pi\cdot\tfrac{9}{4} =\frac{9\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{9\pi}{4}

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