Resolva os problemas abaixo:
Calcule \iiint z d x d y d z sobre W sabendo que W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 2\right. e \left.0 \leq z \leq 4-x-y\right\}

Passo 1

Resumindo, queremos calcular
\iiint_{W} z \,dx\,dy\,dz
onde
W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le 2,\;0\le z\le 4 - x - y\}.
O conteúdo envolvido é integral tripla e aplicação do Teorema de Fubini.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini escrevemos
\iiint_{W} z \,dx\,dy\,dz = \int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{2}\!\int_{z=0}^{4-x-y} z \,dz\,dy\,dx.
Primeiro integramos em z:
\int_{0}^{4-x-y} z \,dz = \frac{(4 - x - y)^2}{2}.

Passo 3

Substituindo no integral em y, temos
\int_{y=0}^{2} \frac{(4 - x - y)^2}{2} \,dy = \frac{1}{2}\int_{0}^{2} (4 - x - y)^2 \,dy = \frac{1}{2}\cdot\frac{(4 - x)^3 - (2 - x)^3}{3} = \frac{(4 - x)^3 - (2 - x)^3}{6}.

Passo 4

Finalmente integramos em x:
\int_{x=0}^{1} \frac{(4 - x)^3 - (2 - x)^3}{6} \,dx = \frac{1}{6}\Bigl[\!\int_{0}^{1}(4 - x)^3\,dx \;-\;\int_{0}^{1}(2 - x)^3\,dx\Bigr].
Usando a antiderivada -\tfrac{(a - x)^4}{4}, obtemos
\int_{0}^{1}(4 - x)^3\,dx = \frac{175}{4}, \qquad \int_{0}^{1}(2 - x)^3\,dx = \frac{15}{4},
de onde
\frac{1}{6}\Bigl(\tfrac{175}{4} - \tfrac{15}{4}\Bigr) = \frac{1}{6}\cdot\frac{160}{4} = \frac{40}{6} = \frac{20}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{20}{3}

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