QUESTÃO 5 [ valor: 2,0 pontos]
Analise a natureza dos pontos críticos da função
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para achar todos os pontos críticos e classificar cada um (mínimo local, máximo local ou ponto de sela). Vamos usar derivadas parciais para encontrar os pontos críticos e depois aplicar o critério da segunda derivada (matriz Hessiana) para a classificação.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais primeiras:
Para pontos críticos, impomos
Logo, há seis pontos críticos:
,
,
,
,
e
.
Passo 3
Agora as derivadas segundas e o determinante da Hessiana. Temos
Como
, o determinante da Hessiana vale
Passo 4
Em cada ponto crítico, avaliamos
e
:
- Em
:
Logo, ponto de sela.
- Em
:
Logo, máximo local.
- Em
:
Logo, mínimos locais em
e
.
- Em
:
Logo, pontos de sela.
Resposta
(1,0) → ponto de sela
(-1,0) → máximo local
(1,√2) e (1,−√2) → mínimos locais
(-1,√2) e (−1,−√2) → pontos de sela
(-1,0) → máximo local
(1,√2) e (1,−√2) → mínimos locais
(-1,√2) e (−1,−√2) → pontos de sela