QUESTÃO 5 [ valor: 2,0 pontos]

Analise a natureza dos pontos críticos da função f(x, y)=x^{3}-3 x+y^{4}-4 y^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^{3}-3x+y^{4}-4y^{2}
e pede para achar todos os pontos críticos e classificar cada um (mínimo local, máximo local ou ponto de sela). Vamos usar derivadas parciais para encontrar os pontos críticos e depois aplicar o critério da segunda derivada (matriz Hessiana) para a classificação.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais primeiras:
f_x = \frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-3, \quad f_y = \frac{\partial f}{\partial y}=4y^{3}-8y.
Para pontos críticos, impomos
f_x=0 \quad\Longrightarrow\quad 3x^{2}-3=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm1,
f_y=0 \quad\Longrightarrow\quad 4y(y^{2}-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad y=0,\;\pm\sqrt{2}.
Logo, há seis pontos críticos: (1,0), (-1,0), (1,\sqrt{2}), (1,-\sqrt{2}), (-1,\sqrt{2}) e (-1,-\sqrt{2}).

Passo 3

Agora as derivadas segundas e o determinante da Hessiana. Temos
f_{xx}=6x, \quad f_{xy}=0, \quad f_{yy}=12y^{2}-8.
Como f_{xy}=0, o determinante da Hessiana vale
D = f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^{2} = (6x)\,(12y^{2}-8).

Passo 4

Em cada ponto crítico, avaliamos f_{xx} e D:
  • Em (1,0):
f_{xx}=6,\quad f_{yy}=12\cdot0^{2}-8=-8, \quad D=6\times(-8)=-48<0
Logo, ponto de sela.
  • Em (-1,0):
f_{xx}=-6,\quad f_{yy}=-8, \quad D=(-6)\times(-8)=48>0, \quad f_{xx}<0
Logo, máximo local.
  • Em (1,\pm\sqrt{2}):
f_{xx}=6,\quad f_{yy}=12\cdot(\sqrt{2})^{2}-8=24-8=16, \quad D=6\times16=96>0, \quad f_{xx}>0
Logo, mínimos locais em (1,\sqrt{2}) e (1,-\sqrt{2}).
  • Em (-1,\pm\sqrt{2}):
f_{xx}=-6,\quad f_{yy}=16, \quad D=(-6)\times16=-96<0
Logo, pontos de sela.

Resposta

(1,0) → ponto de sela
(-1,0) → máximo local
(1,√2) e (1,−√2) → mínimos locais
(-1,√2) e (−1,−√2) → pontos de sela

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