Use o teorema de Gauss para calcular
, onde
Exercício 89.
e
é a esfera com raio
e origem no centro. Com
orientada positivamente.
Exercício 89.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de fluxo
onde está dado:
e
é a esfera de raio
centrada na origem, orientada positivamente (isto é, com a normal apontando para fora).
Informações relevantes: a superfície é fechada (esfera), o campo é explícito e suave dentro e sobre a esfera, e queremos o fluxo total através de
.
Informações relevantes: a superfície é fechada (esfera), o campo
Passo 2
Vamos usar um teorema padrão que transforma integral de superfície fechada em integral de volume. A fórmula é
onde
é o volume limitado por
,
é a normal externa e
é a divergência de
. Intuitivamente a divergência mede a “fonte” de
em cada ponto; somando essa fonte dentro do volume obtemos o fluxo total pela superfície. Não faz falta calcular a normal nem parametrizar a esfera: o teorema já nos dá uma forma muito mais simples.
Passo 3
Calcular a divergência de
. Escrevendo componentes, para
e
temos
logo a componente
-ésima é
. A divergência é
Usando a regra do produto
e
, obtemos para cada termo
e analogamente para
e
. Somando:
Portanto
Passo 4
Substituímos na integral de volume. Seja
a bola de raio
. Então
É natural usar coordenadas esféricas. Definimos
(raio),
(ângulo polar,
) e
(azimute,
). Lembrando que
Assim o integrando vira
vezes o jacobiano
, isto é
.
Passo 5
Calcular a integral iterada:
Fazendo as integrais separadamente:
Multiplicando tudo: