Use o teorema de Gauss para calcular \iint_{S}(F \cdot n) d s, onde
Exercício 89. F(x, y, z)=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)(x, y, z) e S é a esfera com raio R e origem no centro. Com S orientada positivamente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de fluxo
\iint_{S} (F\cdot n)\,dS
onde está dado:
F(x,y,z)=\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)(x,y,z),
e S é a esfera de raio R centrada na origem, orientada positivamente (isto é, com a normal apontando para fora).
Informações relevantes: a superfície é fechada (esfera), o campo F é explícito e suave dentro e sobre a esfera, e queremos o fluxo total através de S.

Passo 2

Vamos usar um teorema padrão que transforma integral de superfície fechada em integral de volume. A fórmula é
\iint_{S} F\cdot n\,dS = \iiint_{V} \nabla\cdot F \, dV,
onde V é o volume limitado por S, n é a normal externa e \nabla\cdot F é a divergência de F. Intuitivamente a divergência mede a “fonte” de F em cada ponto; somando essa fonte dentro do volume obtemos o fluxo total pela superfície. Não faz falta calcular a normal nem parametrizar a esfera: o teorema já nos dá uma forma muito mais simples.

Passo 3

Calcular a divergência de F. Escrevendo componentes, para \mathbf{x}=(x,y,z) e r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} temos
F = r^{2}(x,y,z),
logo a componente i-ésima é F_{i}=r^{2} x_{i}. A divergência é
\nabla\cdot F = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(r^{2}x\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(r^{2}y\bigr) + \frac{\partial}{\partial z}\bigl(r^{2}z\bigr).
Usando a regra do produto \frac{\partial}{\partial x}(r^{2}x)= (\partial r^{2}/\partial x)\,x + r^{2}\cdot 1 e \partial r^{2}/\partial x = 2x, obtemos para cada termo
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(r^{2}x\bigr)=2x^{2}+r^{2},
e analogamente para y e z. Somando:
\nabla\cdot F = (2x^{2}+r^{2})+(2y^{2}+r^{2})+(2z^{2}+r^{2}) =2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+3r^{2}=5r^{2}.
Portanto
\nabla\cdot F = 5\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).

Passo 4

Substituímos na integral de volume. Seja V a bola de raio R. Então
\iint_{S} F\cdot n\,dS = \iiint_{V} 5\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,dV.
É natural usar coordenadas esféricas. Definimos \rho (raio), \varphi (ângulo polar, 0\le\varphi\le\pi) e \theta (azimute, 0\le\theta\le 2\pi). Lembrando que
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}, \qquad dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Assim o integrando vira 5\rho^{2} vezes o jacobiano \rho^{2}\sin\varphi, isto é 5\rho^{4}\sin\varphi.

Passo 5

Calcular a integral iterada:
\iiint_{V} 5\rho^{2}\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi}\int_{\rho=0}^{R} 5\rho^{4}\sin\varphi \, d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Fazendo as integrais separadamente:
\int_{\theta=0}^{2\pi} d\theta = 2\pi,
\int_{\varphi=0}^{\pi} \sin\varphi\,d\varphi = 2,
\int_{\rho=0}^{R} 5\rho^{4}\,d\rho = 5\left[\frac{\rho^{5}}{5}\right]_{0}^{R} = R^{5}.
Multiplicando tudo:
2\pi \cdot 2 \cdot R^{5} = 4\pi R^{5}.

Resposta

\;4\pi R^{5}

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