Use o teorema de Gauss para calcular \iint_{S}(F \cdot n) d s, onde
Exercício 82. F(x, y, z)=\left(3 x y^{2}, x e^{z}, z^{3}\right) e S é a superfície do sólido limitado pelo cilindro y^{2}+z^{2}=1 e os planos x=-1 e x=2. Com S orientada positivamente.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \iint_{S} (F\cdot n)\,d s, ou seja, o fluxo do campo pela superfície S.
Informações dadas:
F(x,y,z)=\left(3xy^{2},\, x e^{z},\, z^{3}\right).
A superfície S é a superfície do sólido limitado pelo cilindro \;y^{2}+z^{2}=1\; e pelos planos \;x=-1\; e \;x=2\;. Está dito que S está orientada positivamente (isto é, com a normal apontando para fora do sólido).

Passo 2

Qual método vamos usar (e por que ele vale aqui). Vou aplicar o Teorema de Gauss (também chamado Teorema da Divergência). Esse teorema diz que, para um campo vetorial F com derivadas parciais contínuas e E um sólido limitado por S com normal externa, vale
\iint_{S} (F\cdot n)\,d s \;=\; \iiint_{E} \operatorname{div}F \, dV.
Explicando devagar: \operatorname{div}F é a divergência de F, que mede a “taxa de saída” do campo num ponto; dV é o elemento de volume. A condição de orientação positiva significa que usamos a normal externa, que é exatamente a hipótese do teorema. Aqui o sólido E é o cilindro \{(x,y,z)\mid y^{2}+z^{2}\le1,\; -1\le x\le2\}, um domínio bem comportado, e F tem derivadas parciais contínuas (polinômios e exponenciais), portanto o teorema se aplica.

Passo 3

Calcular a divergência \operatorname{div}F. Por definição,
\operatorname{div}F = \frac{\partial}{\partial x}(F_1) + \frac{\partial}{\partial y}(F_2) + \frac{\partial}{\partial z}(F_3),
onde F_1=3xy^{2}, F_2= x e^{z} e F_3=z^{3}.
Vamos calcular termo a termo:
\frac{\partial}{\partial x}(3xy^{2}) = 3y^{2},
porque derivando em x tratamos y como constante;
\frac{\partial}{\partial y}(x e^{z}) = 0,
pois x e^{z} não depende de y;
\frac{\partial}{\partial z}(z^{3}) = 3z^{2}.
Somando:
\operatorname{div}F = 3y^{2} + 0 + 3z^{2} = 3(y^{2}+z^{2}).

Passo 4

Aplicar o teorema transformando o fluxo em integral de volume:
\iint_{S} (F\cdot n)\,d s \;=\; \iiint_{E} 3(y^{2}+z^{2})\, dV,
onde E=\{(x,y,z)\mid y^{2}+z^{2}\le1,\; -1\le x\le2\}.
Para integrar é natural usar coordenadas cilíndricas em torno do eixo x (ou seja, tratar x como coordenada longitudinal e usar r,\theta para o plano yz). Definimos:
y = r\cos\theta,\qquad z = r\sin\theta,\qquad x=x,
com 0\le r\le1, 0\le\theta\le 2\pi, e -1\le x\le 2. O elemento de volume vale dV = r\,dr\,d\theta\,dx. Note que y^{2}+z^{2}=r^{2}.

Passo 5

Escrever a integral em coordenadas (x,r,\theta):
\iiint_{E} 3(y^{2}+z^{2})\, dV = \int_{x=-1}^{2}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1} 3(r^{2})\cdot r \;dr\,d\theta\,dx.
Explicando: substituí y^{2}+z^{2}=r^{2} e dV=r\,dr\,d\theta\,dx, então o integrando fica 3 r^{2}\cdot r = 3 r^{3}.

Passo 6

Calcular a integral passo a passo:
Primeiro a parte em r:
\int_{0}^{1} 3 r^{3}\,dr = 3\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = 3\cdot\frac{1}{4} = \frac{3}{4}.
Depois a parte em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Depois a parte em x:
\int_{-1}^{2} dx = 3.
Multiplicando tudo:
\iiint_{E} 3(y^{2}+z^{2})\, dV = \left(\frac{3}{4}\right)\cdot (2\pi)\cdot 3 = \frac{3}{4}\cdot 6\pi = \frac{18\pi}{4} = \frac{9\pi}{2}.

Passo 7

Interpretação final: o fluxo total do campo F através da superfície externa do cilindro (com orientação positiva) é \dfrac{9\pi}{2}. Bom trabalho — conseguimos reduzir a conta a uma integral simples graças ao Teorema de Gauss!

Resposta

\dfrac{9\pi}{2}

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