Use o teorema de Gauss para calcular
, onde
Exercício 82.
e
é a superfície do sólido limitado pelo cilindro
e os planos
e
. Com
orientada positivamente.
Exercício 82.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
, ou seja, o fluxo do campo pela superfície
.
Informações dadas:
A superfície
é a superfície do sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
. Está dito que
está orientada positivamente (isto é, com a normal apontando para fora do sólido).
Passo 2
Qual método vamos usar (e por que ele vale aqui). Vou aplicar o Teorema de Gauss (também chamado Teorema da Divergência). Esse teorema diz que, para um campo vetorial
com derivadas parciais contínuas e
um sólido limitado por
com normal externa, vale
Explicando devagar:
é a divergência de
, que mede a “taxa de saída” do campo num ponto;
é o elemento de volume. A condição de orientação positiva significa que usamos a normal externa, que é exatamente a hipótese do teorema. Aqui o sólido
é o cilindro
, um domínio bem comportado, e
tem derivadas parciais contínuas (polinômios e exponenciais), portanto o teorema se aplica.
Passo 3
Calcular a divergência
. Por definição,
onde
,
e
.
Vamos calcular termo a termo:
porque derivando em
tratamos
como constante;
pois
não depende de
;
Somando:
Passo 4
Aplicar o teorema transformando o fluxo em integral de volume:
onde
.
Para integrar é natural usar coordenadas cilíndricas em torno do eixo
(ou seja, tratar
como coordenada longitudinal e usar
para o plano
). Definimos:
com
,
, e
. O elemento de volume vale
. Note que
.
Passo 5
Escrever a integral em coordenadas
:
Explicando: substituí
e
, então o integrando fica
.
Passo 6
Calcular a integral passo a passo:
Primeiro a parte em
:
Depois a parte em
:
Depois a parte em
:
Multiplicando tudo:
Passo 7
Interpretação final: o fluxo total do campo
através da superfície externa do cilindro (com orientação positiva) é
. Bom trabalho — conseguimos reduzir a conta a uma integral simples graças ao Teorema de Gauss!