Use o teorema de Gauss para calcular
, onde
Exercício 87.
e
é a superfície do sólido limitado pelo cilindro
e os planos
e
. Com
orientada positivamente.
Exercício 87.
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular o fluxo de
através da superfície
, isto é, o valor da integral de superfície
onde
e
são dados. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A superfície
é a superfície do sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
(plano inferior) e
(plano superior inclinado). A orientação de
é positiva (isto é, normal apontando para fora do sólido).
Não há outras condições ocultas: é a fronteira de um sólido compacto e
é polinomial (logo suave) nesse sólido.
Não há outras condições ocultas:
Passo 2
Ideia do método que vamos aplicar (sem detalhes técnicos ainda): usar o Teorema de Gauss (Teorema da Divergência) para transformar a integral de superfície em uma integral tripla sobre o volume
do sólido. O Teorema de Gauss diz que, para uma região sólida
com fronteira
orientada externamente,
desde que
seja suficientemente suave em
. Vamos então calcular
e integrar sobre
.
Passo 3
Calcular a divergência de
. Lembre-se: a divergência é a soma das derivadas parciais das componentes correspondentes,
Aqui
,
e
. Calculamos cada derivada:
Somando,
Passo 4
Montar a integral tripla sobre o volume
. Pelo Teorema de Gauss:
Agora vamos parametrizar
. O sólido é o conjunto de pontos com
e
. Observação: o plano superior é
, que em coordenadas cilíndricas será
. Como a base no plano
é o disco de raio
, é natural usar coordenadas cilíndricas
com
e os limites serão
.
Passo 5
Converter a função integranda para coordenadas cilíndricas. Temos
e
. Logo
Multiplicando pela medida
, o integrando da integral tripla fica
Portanto a integral tripla é
Passo 6
Integrar primeiro em
(mais simples, pois o integrando não depende de
explicitamente). A integral em
sobre
a
dá um fator
. Assim
Expandindo para facilitar as integrais seguintes:
Portanto a integral reduz-se a
Passo 7
Separar as integrais e integrar em
. Primeiro separamos:
Como os fatores com
são constantes em relação a
, podemos fazer as integrais em
isoladamente:
Assim as integrais em
tornam-se:
Passo 8
Integrar em
. Avaliamos as duas integrais separadamente:
- Para
:
- Para
usamos a identidade . Então
Portanto a integral total em
é