Use o teorema de Gauss para calcular \iint_{S}(F \cdot n) d s, onde
Exercício 87. F(x, y, z)=\left(x^{4},-x^{3} z^{2}, 4 x y^{2} z\right)
e S é a superfície do sólido limitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=1 e os planos z=x+2 e z=0. Com S orientada positivamente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo de F através da superfície S, isto é, o valor da integral de superfície
\iint_{S} (F\cdot n)\,ds,
onde F e S são dados. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
F(x,y,z)=\left(x^{4},-x^{3}z^{2},4xy^{2}z\right).
A superfície S é a superfície do sólido limitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=1 e pelos planos z=0 (plano inferior) e z=x+2 (plano superior inclinado). A orientação de S é positiva (isto é, normal apontando para fora do sólido).
Não há outras condições ocultas: S é a fronteira de um sólido compacto e F é polinomial (logo suave) nesse sólido.

Passo 2

Ideia do método que vamos aplicar (sem detalhes técnicos ainda): usar o Teorema de Gauss (Teorema da Divergência) para transformar a integral de superfície em uma integral tripla sobre o volume V do sólido. O Teorema de Gauss diz que, para uma região sólida V com fronteira S orientada externamente,
\iint_{S} (F\cdot n)\,ds = \iiint_{V} \operatorname{div}F \, dV,
desde que F seja suficientemente suave em V. Vamos então calcular \operatorname{div}F e integrar sobre V.

Passo 3

Calcular a divergência de F. Lembre-se: a divergência é a soma das derivadas parciais das componentes correspondentes,
\operatorname{div}F = \frac{\partial}{\partial x}(F_1) + \frac{\partial}{\partial y}(F_2) + \frac{\partial}{\partial z}(F_3).
Aqui F_1(x,y,z)=x^{4}, F_2(x,y,z)=-x^{3}z^{2} e F_3(x,y,z)=4xy^{2}z. Calculamos cada derivada:
\frac{\partial}{\partial x}(x^{4})=4x^{3},
\frac{\partial}{\partial y}(-x^{3}z^{2})=0 \quad\text{(pois essa componente não depende de \(y\))},ã
\frac{\partial}{\partial z}(4xy^{2}z)=4xy^{2}.
Somando,
\operatorname{div}F = 4x^{3} + 0 + 4xy^{2} = 4x(x^{2}+y^{2}).

Passo 4

Montar a integral tripla sobre o volume V. Pelo Teorema de Gauss:
\iint_{S} (F\cdot n)\,ds = \iiint_{V} 4x(x^{2}+y^{2})\, dV.
Agora vamos parametrizar V. O sólido é o conjunto de pontos com x^{2}+y^{2}\le 1 e 0\le z \le x+2. Observação: o plano superior é z=x+2, que em coordenadas cilíndricas será z=r\cos\theta+2. Como a base no plano z=0 é o disco de raio 1, é natural usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) com
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad dV = r\,dr\,d\theta\,dz,
e os limites serão 0\le r\le 1,\; 0\le \theta \le 2\pi,\; 0\le z \le r\cos\theta+2.

Passo 5

Converter a função integranda para coordenadas cilíndricas. Temos x^{2}+y^{2}=r^{2} e x=r\cos\theta. Logo
\operatorname{div}F = 4x(x^{2}+y^{2}) = 4(r\cos\theta)\,r^{2} = 4r^{3}\cos\theta.
Multiplicando pela medida dV = r\,dr\,d\theta\,dz, o integrando da integral tripla fica
4r^{3}\cos\theta \cdot r = 4r^{4}\cos\theta.
Portanto a integral tripla é
\iiint_{V} 4x(x^{2}+y^{2})\, dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=0}^{r\cos\theta+2} 4r^{4}\cos\theta \, dz\,dr\,d\theta.

Passo 6

Integrar primeiro em z (mais simples, pois o integrando não depende de z explicitamente). A integral em z sobre 0 a r\cos\theta+2 dá um fator r\cos\theta+2. Assim
\int_{0}^{r\cos\theta+2} 4r^{4}\cos\theta \, dz = 4r^{4}\cos\theta\,(r\cos\theta+2).
Expandindo para facilitar as integrais seguintes:
4r^{4}\cos\theta\,(r\cos\theta+2) = 4r^{5}\cos^{2}\theta + 8r^{4}\cos\theta.
Portanto a integral reduz-se a
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \big(4r^{5}\cos^{2}\theta + 8r^{4}\cos\theta\big)\, dr\, d\theta.

Passo 7

Separar as integrais e integrar em r. Primeiro separamos:
\int_{0}^{2\pi}\left( \int_{0}^{1} 4r^{5}\cos^{2}\theta \,dr + \int_{0}^{1}8r^{4}\cos\theta\,dr \right)d\theta.
Como os fatores com \theta são constantes em relação a r, podemos fazer as integrais em r isoladamente:
\int_{0}^{1} r^{5}\,dr = \frac{1}{6},\qquad \int_{0}^{1} r^{4}\,dr = \frac{1}{5}.
Assim as integrais em r tornam-se:
\int_{0}^{2\pi}\left(4\cdot\frac{1}{6}\cos^{2}\theta + 8\cdot\frac{1}{5}\cos\theta\right)d\theta = \int_{0}^{2\pi}\left(\frac{2}{3}\cos^{2}\theta + \frac{8}{5}\cos\theta\right)d\theta.

Passo 8

Integrar em \theta. Avaliamos as duas integrais separadamente:
  • Para \cos\theta:
\int_{0}^{2\pi} \cos\theta \, d\theta = 0.
  • Para \cos^{2}\theta usamos a identidade \cos^{2}\theta = \tfrac{1}{2}(1+\cos 2\theta). Então
\int_{0}^{2\pi} \cos^{2}\theta \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \tfrac{1}{2}(1+\cos 2\theta)\, d\theta = \tfrac{1}{2}\left[ \theta + \tfrac{1}{2}\sin 2\theta \right]_{0}^{2\pi} = \tfrac{1}{2}\cdot 2\pi = \pi.
Portanto a integral total em \theta é
\frac{2}{3}\cdot \pi + \frac{8}{5}\cdot 0 = \frac{2\pi}{3}.

Resposta

\dfrac{2\pi}{3}

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