Use o Teorema de Gauss (da Divergência) para calcular o fluxo de
F(x, y, z)=(4 pi3) z i+(34 pi) y i+(3 pi4) x k
através da esfera
x^2+y^2+z^2=a^2

Passo 1

Neste exercício vamos usar o Teorema de Gauss (da Divergência) para calcular o fluxo do campo dado através da superfície da esfera de raio a. Precisamos identificar o campo vetorial F(x,y,z) e a superfície x^2+y^2+z^2=a^2, e lembrar que o teorema nos diz que o fluxo da superfície é igual à integral tripla do divergente de F sobre o volume interno.

Passo 2

Calculemos o divergente de F(x,y,z)=l(tfrac4pi3,z,,tfrac34pi,y,,tfrac3pi4,xr). Usando nablacdotF=partial F1/partial x+partial F2/partial y+partial F3/partial z, obtemos
nablacdotF=0+34pi+0=34pi

Passo 3

Pelo Teorema de Gauss, o fluxo Phi pela esfera é
Phi=integral duplaSFcdot dS=integral triplaV(nablacdotF),dV

Passo 4

Como nablacdotF=tfrac34pi é constante, basta multiplicar pelo volume da esfera de raio a:
Phi=34pitimes l(43pi a^3r)=a^3

Resposta

a^3

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