Use Transformadas de Laplace para resolver os Problemas de valor inicial a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem com condições iniciais e usando transformada de Laplace. Vamos usar teoria de transformada de Laplace para EDOs lineares com condições iniciais, mas como elas estão em faremos um deslocamento de variável para aplicar a transformada normalmente.
Passo 2
Para lidar com as condições em , definimos e . Assim em vale e . A equação original vira
Passo 3
Agora aplicamos transformada de Laplace em cada termo. Lembrando que
e . Substituindo e obtemos
Passo 4
Reagrupando termos em , ficamos com
Isolando :
Passo 5
Para inverter a transformada precisamos decompor em frações parciais:
Multiplicamos em comum denominador e igualamos coeficientes de e constante.
Passo 6
O sistema para é
Resolvendo obtemos
A=tfrac35, B=-1, C=tfrac75, D=-tfrac115
Passo 7
Logo
Z(s)=3/5s-2-1s+1+(7/5)s-(11/5)s^2+1
Agora aplicamos a transformada inversa: cada termo é conhecido: L^-11/(s-2)=e^2u, L^-11/(s+1)=e^-u, L^-1s/(s^2+1)=cos u, L^-11/(s^2+1)=sin u.
Passo 8
Invertemos e obtemos
z(u)=35e^2u-e^-u+75cos u-115sin u
Passo 9
Voltando à variável original t, lembre que u=t-pi/2. Então