Use Transformadas de Laplace para resolver os Problemas de valor inicial a seguir.
ly^prime prime-y^prime-2 y=-8 cos t-2 sen t ; y(pi / 2)=1, y^prime(pi / 2)=0,

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem y''-y'-2y=-8cos t-2sin t com condições iniciais y(pi/2)=1 e y'(pi/2)=0 usando transformada de Laplace. Vamos usar teoria de transformada de Laplace para EDOs lineares com condições iniciais, mas como elas estão em t=pi/2 faremos um deslocamento de variável para aplicar a transformada normalmente.

Passo 2

Para lidar com as condições em t=pi/2, definimos u=t-pi/2 e z(u)=y(u+pi/2). Assim em u=0 vale z(0)=y(pi/2)=1 e z'(0)=y'(pi/2)=0. A equação original vira
z''(u)-z'(u)-2z(u)=8sin u-2cos u

Passo 3

Agora aplicamos transformada de Laplace em cada termo. Lembrando que
Lz''=s^2Z(s)-sz(0)-z'(0),
Lz'=sZ(s)-z(0),
e Z(s)= Lz(u). Substituindo z(0)=1 e z'(0)=0 obtemos
(s^2Z-s)-(sZ-1)-2Z=8s^2+1-2ss^2+1

Passo 4

Reagrupando termos em Z(s), ficamos com
Z(s)(s^2-s-2)+(1-s)=8-2ss^2+1
Isolando Z(s):
Z(s)= 8-2ss^2+1+s-1s^2-s-2 =s^3-s^2-s+7(s^2+1)(s^2-s-2) =s^3-s^2-s+7(s^2+1)(s-2)(s+1)

Passo 5

Para inverter a transformada precisamos decompor em frações parciais:
s^3-s^2-s+7(s-2)(s+1)(s^2+1) =As-2+Bs+1+Cs+Ds^2+1
Multiplicamos em comum denominador e igualamos coeficientes de s^3,s^2,s, e constante.

Passo 6

O sistema para A,B,C,D é
A+B+C=1, A-2B -C +D=-1, A+B -2C -D=-1, A-2B -2D=7
Resolvendo obtemos
A=tfrac35, B=-1, C=tfrac75, D=-tfrac115

Passo 7

Logo
Z(s)=3/5s-2-1s+1+(7/5)s-(11/5)s^2+1
Agora aplicamos a transformada inversa: cada termo é conhecido:
L^-11/(s-2)=e^2u,
L^-11/(s+1)=e^-u,
L^-1s/(s^2+1)=cos u,
L^-11/(s^2+1)=sin u.

Passo 8

Invertemos e obtemos
z(u)=35e^2u-e^-u+75cos u-115sin u

Passo 9

Voltando à variável original t, lembre que u=t-pi/2. Então
y(t)=35e^2(t-pi/2)-e^-(t-pi/2)+75cos(t-tfracpi2)-115sin(t-tfracpi2)
Usando cos(t-pi/2)=sin t e sin(t-pi/2)=-cos t, simplifica para:

Passo 10

y(t)=\frac{3}{5}e{2t-\pi}-e{\pi/2 -t}+\frac{7}{5}\sin t+\frac{11}{5}\cos t

Resposta

y(t)=\tfrac{3}{5}e{2t-\pi}-e{\pi/2 -t}+\tfrac{7}{5}\sin t+\tfrac{11}{5}\cos t

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