Use o Teorema de Green para calcular as integrais:
\oint_{C} \frac{1}{3} y^{3} d x+\left(x y+x y^{3}\right) d y, em que C é o contorno da região no primeiro quadrante, determinada pelos gráficos y=0, x=y^{2} e x=1-y^{2}.

Passo 1

Dados do enunciado:
\text{Integrando } \oint_{C} \frac{1}{3}y^{3}\,dx + \bigl(xy + xy^{3}\bigr)\,dy,
onde C é o contorno da região do primeiro quadrante determinada pelas curvas \;y=0,\; x=y^{2} e \;x=1-y^{2}.
O que se pede:
Calcular o valor da integral de linha fechada indicada ao longo do contorno C.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A forma diferencial tem P(x,y)=\dfrac{1}{3}y^{3} e Q(x,y)=xy+xy^{3}.
  • A região é limitada por y=0 (eixo x), pela parábola x=y^{2} e pela parábola x=1-y^{2}, no primeiro quadrante.
  • As interseções das curvas x=y^{2} e x=1-y^{2} ocorrem resolvendo y^{2}=1-y^{2}, o que dá y^{2}=\tfrac{1}{2} e, no primeiro quadrante, y=\tfrac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 2

Apresentando a ferramenta que o enunciado pede usar (explicada de forma didática):
O Teorema usado relaciona uma integral de linha ao redor de um contorno fechado com uma integral dupla sobre a região interior. Escrevendo a forma diferencial como P\,dx+Q\,dy, a fórmula é
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA,
onde D é a região interior a C e a orientação do contorno C deve ser positiva (contrário horário, isto é, sentido anti-horário). Nessa fórmula:
  • \dfrac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x, mantendo y fixo;
  • \dfrac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y, mantendo x fixo;
  • dA indica área elementar (podemos usar dx\,dy ou dy\,dx).
Vou aplicar essa fórmula: em vez de calcular a integral de linha diretamente ao longo de cada arco, é muito mais simples computar a integral dupla do rotacional \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y} sobre D.

Passo 3

Identificando P e Q e calculando as derivadas parciais:
P(x,y)=\frac{1}{3}y^{3},\qquad Q(x,y)=xy+xy^{3}.
Calculamos:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(xy+xy^{3}\bigr)=y+y^{3},
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{1}{3}y^{3}\right)=y^{2}.
Logo o integrando do teorema é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=y+y^{3}-y^{2}.

Passo 4

Descrição cuidadosa da região D e escolha dos limites de integração:
A região D está no primeiro quadrante limitada por y=0, por x=y^{2} (parábola que abre para a direita) e por x=1-y^{2} (parábola que abre para a esquerda). As interseções das duas parábolas ocorrem em \;y^{2}=1-y^{2}\Rightarrow y^{2}=\tfrac{1}{2}\Rightarrow y=\tfrac{1}{\sqrt{2}} (tomamos a raíz positiva porque estamos no primeiro quadrante). Portanto:
  • y varia de 0 até \tfrac{1}{\sqrt{2}}.
  • Para cada y fixo, x varia de x=y^{2} (limite esquerdo) até x=1-y^{2} (limite direito).
Assim é natural escolher a ordem dx\,dy e escrever a integral dupla como integral em y de uma integral em x:
\iint_{D} (y+y^{3}-y^{2})\,dA = \int_{y=0}^{1/\sqrt{2}}\left(\int_{x=y^{2}}^{\,1-y^{2}}(y+y^{3}-y^{2})\,dx\right)dy.

Passo 5

Integração em x (a função integranda não depende de x, o que simplifica):
Como y+y^{3}-y^{2} é independente de x, a integral interna é simplesmente esse fator multiplicado pelo comprimento do intervalo em x:
\int_{x=y^{2}}^{\,1-y^{2}}(y+y^{3}-y^{2})\,dx = (y+y^{3}-y^{2})\cdot\bigl(1-y^{2}-y^{2}\bigr).
Observe que 1-y^{2}-y^{2}=1-2y^{2}. Então a expressão fica
(y+y^{3}-y^{2})(1-2y^{2}).

Passo 6

Simplificando o produto algébrico (expansão para tornar a integração em y direta):
Multiplicamos termo a termo:
(y+y^{3}-y^{2})(1-2y^{2}) = y - 2y^{3} + y^{3} - 2y^{5} - y^{2} + 2y^{4}.
Agrupando termos semelhantes:
= y - y^{2} - y^{3} + 2y^{4} - 2y^{5}.

Passo 7

Agora fazemos a integral em y de y - y^{2} - y^{3} + 2y^{4} - 2y^{5} no intervalo [0,\tfrac{1}{\sqrt{2}}]. Primeiro encontramos a primitiva termo a termo:
\int \bigl(y - y^{2} - y^{3} + 2y^{4} - 2y^{5}\bigr)\,dy = \frac{1}{2}y^{2} - \frac{1}{3}y^{3} - \frac{1}{4}y^{4} + \frac{2}{5}y^{5} - \frac{1}{3}y^{6} + C.
(Usei a regra básica \int y^{n}\,dy = \dfrac{y^{n+1}}{n+1}.)

Passo 8

Avaliação da primitiva entre 0 e y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Primeiro calculamos as potências necessárias em y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}:
y=\frac{1}{\sqrt{2}},\quad y^{2}=\frac{1}{2},\quad y^{3}=\frac{1}{2\sqrt{2}},\quad y^{4}=\frac{1}{4},\quad y^{5}=\frac{1}{4\sqrt{2}},\quad y^{6}=\frac{1}{8}.
Substituindo na primitiva:
\frac{1}{2}y^{2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4},
-\frac{1}{3}y^{3} = -\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{6\sqrt{2}},
-\frac{1}{4}y^{4} = -\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4} = -\frac{1}{16},
\frac{2}{5}y^{5} = \frac{2}{5}\cdot\frac{1}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{10\sqrt{2}},
-\frac{1}{3}y^{6} = -\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{8} = -\frac{1}{24}.
Somando todos esses termos (o valor em y=0 dá zero), temos
\text{valor} = \frac{1}{4} - \frac{1}{16} - \frac{1}{24} \;+\; \left(-\frac{1}{6\sqrt{2}}+\frac{1}{10\sqrt{2}}\right).

Passo 9

Simplificação aritmética final:
Somando as parcelas sem \sqrt{2}:
\frac{1}{4}-\frac{1}{16}-\frac{1}{24} = \frac{12-3-2}{48} = \frac{7}{48}.
Somando as parcelas com \dfrac{1}{\sqrt{2}}:
-\frac{1}{6\sqrt{2}}+\frac{1}{10\sqrt{2}} = -\frac{1}{15\sqrt{2}}.
Podemos também racionalizar esse último termo: -\dfrac{1}{15\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{30}.
Logo o valor total da integral é
\frac{7}{48} - \frac{1}{15\sqrt{2}} = \frac{7}{48} - \frac{\sqrt{2}}{30}.

Resposta

\dfrac{7}{48}-\dfrac{\sqrt{2}}{30}

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