Use o Teorema de Green para calcular as integrais:
, em que
é o contorno da região no primeiro quadrante, determinada pelos gráficos
e
.
Passo 1
Dados do enunciado:
onde
é o contorno da região do primeiro quadrante determinada pelas curvas
e
.
O que se pede:
Calcular o valor da integral de linha fechada indicada ao longo do contorno .
Calcular o valor da integral de linha fechada indicada ao longo do contorno
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A forma diferencial tem
e . - A região é limitada por
(eixo ), pela parábola e pela parábola , no primeiro quadrante. - As interseções das curvas
e ocorrem resolvendo , o que dá e, no primeiro quadrante, .
Passo 2
Apresentando a ferramenta que o enunciado pede usar (explicada de forma didática):
O Teorema usado relaciona uma integral de linha ao redor de um contorno fechado com uma integral dupla sobre a região interior. Escrevendo a forma diferencial como , a fórmula é
O Teorema usado relaciona uma integral de linha ao redor de um contorno fechado com uma integral dupla sobre a região interior. Escrevendo a forma diferencial como
onde
é a região interior a
e a orientação do contorno
deve ser positiva (contrário horário, isto é, sentido anti-horário). Nessa fórmula:
-
é a derivada parcial de em relação a , mantendo fixo; -
é a derivada parcial de em relação a , mantendo fixo; -
indica área elementar (podemos usar ou ).
Vou aplicar essa fórmula: em vez de calcular a integral de linha diretamente ao longo de cada arco, é muito mais simples computar a integral dupla do rotacional
sobre
.
Passo 3
Identificando
e
e calculando as derivadas parciais:
Calculamos:
Logo o integrando do teorema é
Passo 4
Descrição cuidadosa da região
e escolha dos limites de integração:
A região está no primeiro quadrante limitada por
, por
(parábola que abre para a direita) e por
(parábola que abre para a esquerda). As interseções das duas parábolas ocorrem em
(tomamos a raíz positiva porque estamos no primeiro quadrante). Portanto:
A região
-
varia de até . - Para cada
fixo, varia de (limite esquerdo) até (limite direito).
Assim é natural escolher a ordem
e escrever a integral dupla como integral em
de uma integral em
:
Passo 5
Integração em
(a função integranda não depende de
, o que simplifica):
Como é independente de
, a integral interna é simplesmente esse fator multiplicado pelo comprimento do intervalo em
:
Como
Observe que
. Então a expressão fica
Passo 6
Simplificando o produto algébrico (expansão para tornar a integração em
direta):
Multiplicamos termo a termo:
Multiplicamos termo a termo:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 7
Agora fazemos a integral em
de
no intervalo
. Primeiro encontramos a primitiva termo a termo:
(Usei a regra básica
.)
Passo 8
Avaliação da primitiva entre
e
. Primeiro calculamos as potências necessárias em
:
Substituindo na primitiva:
Somando todos esses termos (o valor em
dá zero), temos
Passo 9
Simplificação aritmética final:
Somando as parcelas sem :
Somando as parcelas sem
Somando as parcelas com
:
Podemos também racionalizar esse último termo:
.
Logo o valor total da integral é