Use o Teorema de Green para calcular as integrais:
\oint_{C}\left(y+e^{x}\right) d x+\left(2 x^{2}+\cos (y)\right) d y, em que C é a fronteira do triângulo de vértices (0,0),(1,1),(2,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C}\left(y+e^{x}\right)\,dx+\left(2x^{2}+\cos(y)\right)\,dy,
onde C é a fronteira do triângulo com vértices (0,0),\\ (1,1),\\ (2,0). Vou assumir a orientação positiva (contra-horária), que é o sentido padrão quando não é especificado. Informações relevantes dadas: os coeficientes da integral de linha são P(x,y)=y+e^{x} e Q(x,y)=2x^{2}+\cos(y), e a curva C é a fronteira fechada do triângulo com esses três vértices.

Passo 2

Vou usar o resultado que transforma uma integral de linha ao redor de uma curva fechada numa integral dupla sobre a região interior da curva. A fórmula (enunciada abaixo) será apresentada e explicada passo a passo.
A fórmula que usaremos é o Teorema de Green, que diz que, para uma região R simples e fechada com fronteira C orientada positivamente,
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{R} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Explicando: P(x,y) e Q(x,y) são as funções que aparecem multiplicando dx e dy na integral de linha; \frac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x (tratando y fixo) e \frac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y (tratando x fixo). A diferença \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} é a função que integraremos sobre a área R.
Antes de aplicar, verificamos as hipóteses: P e Q têm derivadas parciais contínuas em toda a região que contém o triângulo (pois e^{x}, x^{2}, \cos y são todas suaves). Logo o teorema é aplicável.

Passo 3

Identifico as funções P e Q explicitamente e calculo as derivadas parciais necessárias.
P(x,y)=y+e^{x},\qquad Q(x,y)=2x^{2}+\cos(y).
Agora as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(2x^{2}+\cos(y)\big)=\frac{\partial}{\partial x}(2x^{2})+\frac{\partial}{\partial x}(\cos(y)).
Aqui \cos(y) é tratado como constante em relação a x, então sua derivada é 0. A derivada de 2x^{2} em relação a x é 4x. Portanto
\frac{\partial Q}{\partial x}=4x.
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(y+e^{x}\big)=\frac{\partial}{\partial y}(y)+\frac{\partial}{\partial y}(e^{x}).
Aqui e^{x} é constante em relação a y, então sua derivada é 0. A derivada de y em relação a y é 1. Portanto
\frac{\partial P}{\partial y}=1.

Passo 4

Substituo no integrando do Teorema de Green:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=4x-1.
Assim a integral de linha vira a integral dupla
\oint_{C} P\,dx+Q\,dy = \iint_{R} (4x-1)\,dA,
onde R é a região triangular com vértices (0,0),(1,1),(2,0).

Passo 5

Agora descrevo geometricamente a região R para poder integrar. O triângulo tem base na reta y=0 entre x=0 e x=2, e o vértice superior em (1,1). As retas que formam os lados são:
  • lado esquerdo, reta que passa por (0,0) e (1,1): equação y=x para 0\le x\le 1;
  • lado direito, reta que passa por (1,1) e (2,0): equação y=-x+2 para 1\le x\le 2;
  • base: y=0 para 0\le x\le 2.
Portanto, podemos descrever R por fatias verticais: para cada x com 0\le x\le 1, y varia de 0 até x; para 1\le x\le 2, y varia de 0 até -x+2. Assim a integral dupla pode ser escrita como soma de duas integrais em x:
\iint_{R} (4x-1)\,dA = \int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{x} (4x-1)\,dy\,dx \;+\; \int_{x=1}^{2}\!\int_{y=0}^{-x+2} (4x-1)\,dy\,dx.

Passo 6

Faço primeiro a integração interna em y. Como (4x-1) não depende de y, a integral interna é simplesmente (4x-1) multiplicado pela largura em y:
Para 0\le x\le 1:
\int_{y=0}^{x} (4x-1)\,dy = (4x-1)\cdot x = 4x^{2}-x.
Para 1\le x\le 2:
\int_{y=0}^{-x+2} (4x-1)\,dy = (4x-1)\cdot(-x+2) = (4x-1)(-x+2).
Então a integral total é
\int_{0}^{1} (4x^{2}-x)\,dx \;+\; \int_{1}^{2} (4x-1)(-x+2)\,dx.

Passo 7

Calculo a primeira integral passo a passo:
\int_{0}^{1} (4x^{2}-x)\,dx = \int_{0}^{1} 4x^{2}\,dx - \int_{0}^{1} x\,dx.
As primitivas são \int 4x^{2}\,dx = \frac{4}{3}x^{3} e \int x\,dx = \frac{1}{2}x^{2}. Avaliando de 0 a 1:
\left[\frac{4}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}\right]_{0}^{1} = \frac{4}{3}-\frac{1}{2} = \frac{8}{6}-\frac{3}{6}=\frac{5}{6}.

Passo 8

Calculo a segunda integral. Primeiro expandindo o integrando:
(4x-1)(-x+2) = -4x^{2}+8x + x -2 = -4x^{2}+9x-2.
Agora integro termo a termo:
\int_{1}^{2} (-4x^{2}+9x-2)\,dx = \left[-\frac{4}{3}x^{3}+\frac{9}{2}x^{2}-2x\right]_{1}^{2}.
Avalio em x=2:
-\frac{4}{3}\cdot 8 + \frac{9}{2}\cdot 4 - 2\cdot 2 = -\frac{32}{3} + 18 -4 = -\frac{32}{3} +14 = \frac{-32+42}{3} = \frac{10}{3}.
Avalio em x=1:
-\frac{4}{3}\cdot 1 + \frac{9}{2}\cdot 1 - 2\cdot 1 = -\frac{4}{3} + \frac{9}{2} -2.
Colocando em denominador comum 6:
-\frac{8}{6} + \frac{27}{6} - \frac{12}{6} = \frac{7}{6}.
Subtraindo:
\frac{10}{3} - \frac{7}{6} = \frac{20}{6}-\frac{7}{6} = \frac{13}{6}.

Passo 9

Somando as duas parcelas que obtivemos:
\frac{5}{6} + \frac{13}{6} = \frac{18}{6} = 3.
Portanto a integral de linha pedida vale 3.

Resposta

3

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