Use o Teorema de Green para calcular as integrais:
, em que
é a fronteira do triângulo de vértices
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é a fronteira do triângulo com vértices
. Vou assumir a orientação positiva (contra-horária), que é o sentido padrão quando não é especificado. Informações relevantes dadas: os coeficientes da integral de linha são
e
, e a curva
é a fronteira fechada do triângulo com esses três vértices.
Passo 2
Vou usar o resultado que transforma uma integral de linha ao redor de uma curva fechada numa integral dupla sobre a região interior da curva. A fórmula (enunciada abaixo) será apresentada e explicada passo a passo.
A fórmula que usaremos é o Teorema de Green, que diz que, para uma região
simples e fechada com fronteira
orientada positivamente,
Explicando:
e
são as funções que aparecem multiplicando
e
na integral de linha;
é a derivada parcial de
em relação a
(tratando
fixo) e
é a derivada parcial de
em relação a
(tratando
fixo). A diferença
é a função que integraremos sobre a área
.
Antes de aplicar, verificamos as hipóteses:
e
têm derivadas parciais contínuas em toda a região que contém o triângulo (pois
,
,
são todas suaves). Logo o teorema é aplicável.
Passo 3
Identifico as funções
e
explicitamente e calculo as derivadas parciais necessárias.
Agora as derivadas parciais:
Aqui
é tratado como constante em relação a
, então sua derivada é
. A derivada de
em relação a
é
. Portanto
Aqui
é constante em relação a
, então sua derivada é
. A derivada de
em relação a
é
. Portanto
Passo 4
Substituo no integrando do Teorema de Green:
Assim a integral de linha vira a integral dupla
onde
é a região triangular com vértices
.
Passo 5
Agora descrevo geometricamente a região
para poder integrar. O triângulo tem base na reta
entre
e
, e o vértice superior em
. As retas que formam os lados são:
- lado esquerdo, reta que passa por
e : equação para ; - lado direito, reta que passa por
e : equação para ; - base:
para .
Portanto, podemos descrever
por fatias verticais: para cada
com
,
varia de
até
; para
,
varia de
até
. Assim a integral dupla pode ser escrita como soma de duas integrais em
:
Passo 6
Faço primeiro a integração interna em
. Como
não depende de
, a integral interna é simplesmente
multiplicado pela largura em
:
Para
:
Para
:
Então a integral total é
Passo 7
Calculo a primeira integral passo a passo:
As primitivas são
e
. Avaliando de
a
:
Passo 8
Calculo a segunda integral. Primeiro expandindo o integrando:
Agora integro termo a termo:
Avalio em
:
Avalio em
:
Colocando em denominador comum
:
Subtraindo:
Passo 9
Somando as duas parcelas que obtivemos:
Portanto a integral de linha pedida vale
.
Resposta
3