Utilize a transformação dada para calcular a integral:
\iint_{R} \chi^{2} d A
onde R é a região limitada pela elipse 9 x^{2}+4 y^{2}= 36, x=2 u, y=3 v;
Passo 1
Vamos listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
A região R é a elipse dada por \,9x^{2}+4y^{2}=36\,.
Foi dada a transformação de variáveis
x=2u,\qquad y=3v.
A integral a calcular é
\iint_{R} \chi^{2}\,dA.
Observação importante: interpreto aqui \chi^{2} como x^{2} (uma notação com a letra grega \chi que representa a coordenada x). Portanto o integrando que vou tratar é \,x^{2}.
O objetivo é aplicar a transformação dada para passar a integral sobre a elipse R para uma integral em (u,v), onde a região torna-se mais simples, e então calcular.
Passo 2
Entender como a transformação simplifica a região.
Substituindo x=2u e y=3v na equação da elipse:
9x^{2}+4y^{2}=36
9(2u)^{2}+4(3v)^{2}=36
9\cdot4u^{2}+4\cdot9v^{2}=36
36u^{2}+36v^{2}=36
u^{2}+v^{2}=1.
Logo, a elipse R em (x,y) é mapeada pela transformação para o disco unitário D em (u,v) definido por
D=\{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le 1\}.
Passo 3
Explicar e calcular o jacobiano da transformação (fórmula de mudança de variáveis).
Regra de mudança de variáveis para integrais duplas: se (x,y) é função suave de (u,v), então
dA = \left|\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\,du\,dv,
Breve verificação de ordem de grandeza (confirmação intuitiva).
A elipse tem área igual a \pi a b com semi-eixos a e b. Aqui a elipse 9x^{2}+4y^{2}=36 pode ser escrita como \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1, então a=2, b=3 e a área é \pi\cdot 2\cdot3=6\pi. Como x^{2} varia entre 0 e 4 na região, um valor médio de x^{2} proporcional a algo como \text{(alguma fração)}çã daria um resultado do mesmo tipo de ordem de grandeza de 6\pi. Assim o resultado 6\pi não é absurdo. (Isto é só um checagem rápida, não uma prova.)