Utilize a transformação dada para calcular a integral:
\iint_{R} \chi^{2} d A
onde R é a região limitada pela elipse 9 x^{2}+4 y^{2}= 36, x=2 u, y=3 v;

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A região R é a elipse dada por \,9x^{2}+4y^{2}=36\,.
  • Foi dada a transformação de variáveis
x=2u,\qquad y=3v.
  • A integral a calcular é
\iint_{R} \chi^{2}\,dA.
Observação importante: interpreto aqui \chi^{2} como x^{2} (uma notação com a letra grega \chi que representa a coordenada x). Portanto o integrando que vou tratar é \,x^{2}.
O objetivo é aplicar a transformação dada para passar a integral sobre a elipse R para uma integral em (u,v), onde a região torna-se mais simples, e então calcular.

Passo 2

Entender como a transformação simplifica a região.
Substituindo x=2u e y=3v na equação da elipse:
9x^{2}+4y^{2}=36
9(2u)^{2}+4(3v)^{2}=36
9\cdot4u^{2}+4\cdot9v^{2}=36
36u^{2}+36v^{2}=36
u^{2}+v^{2}=1.
Logo, a elipse R em (x,y) é mapeada pela transformação para o disco unitário D em (u,v) definido por
D=\{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le 1\}.

Passo 3

Explicar e calcular o jacobiano da transformação (fórmula de mudança de variáveis).
Regra de mudança de variáveis para integrais duplas: se (x,y) é função suave de (u,v), então
dA = \left|\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\,du\,dv,
onde a matriz jacobiana é
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}= \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[4pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}.
No nosso caso x=2u e y=3v, então
\frac{\partial x}{\partial u}=2,\quad \frac{\partial x}{\partial v}=0,\quad \frac{\partial y}{\partial u}=0,\quad \frac{\partial y}{\partial v}=3.
Assim o determinante é
\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = 2\cdot 3 - 0\cdot 0 = 6.
Como é positivo, o fator de escala de área é |J|=6, ou seja
dA = 6\,du\,dv.]

Passo 4

Expressar o integrando em termos de u,v.
O integrando original é x^{2}. Substituindo x=2u,
x^{2} = (2u)^{2} = 4u^{2}.
Portanto, na nova variável o integrando multiplicado pelo jacobiano é
x^{2}\,dA = 4u^{2}\cdot 6\,du\,dv = 24\,u^{2}\,du\,dv.

Passo 5

Passar a integral sobre R para uma integral sobre o disco unitário D.
Temos
\iint_{R} x^{2}\,dA = \iint_{D} 24\,u^{2}\,du\,dv.
Para calcular essa integral sobre o disco unitário é natural usar coordenadas polares no plano (u,v). Em coordenadas polares:
u = r\cos\theta,\qquad v = r\sin\theta,
onde 0\le r\le 1 e 0\le\theta\le 2\pi. O elemento de área em polares é
du\,dv = r\,dr\,d\theta.
Além disso
u^{2} = r^{2}\cos^{2}\theta.

Passo 6

Calcular a integral em coordenadas polares passo a passo.
Substituindo tudo:
\iint_{D} 24\,u^{2}\,du\,dv = 24\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \big(r^{2}\cos^{2}\theta\big)\,r\,dr\,d\theta.
Simplificando o fator r:
= 24\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{3}\cos^{2}\theta\,dr\,d\theta.
Podemos separar as integrais porque a parte em r e a parte em \theta são multiplicativas:
= 24\left(\int_{0}^{1} r^{3}\,dr\right)\left(\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta\right).
Calcule cada uma:
\int_{0}^{1} r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
E usando a identidade média \cos^{2}\theta = \tfrac{1}{2}(1+\cos 2\theta),
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\left[\theta + \frac{\sin 2\theta}{2}\right]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{2}\cdot 2\pi = \pi.
Portanto
\iint_{R} x^{2}\,dA = 24\cdot\frac{1}{4}\cdot \pi = 6\pi.

Passo 7

Breve verificação de ordem de grandeza (confirmação intuitiva).
A elipse tem área igual a \pi a b com semi-eixos a e b. Aqui a elipse 9x^{2}+4y^{2}=36 pode ser escrita como \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1, então a=2, b=3 e a área é \pi\cdot 2\cdot3=6\pi. Como x^{2} varia entre 0 e 4 na região, um valor médio de x^{2} proporcional a algo como \text{(alguma fração)}çã daria um resultado do mesmo tipo de ordem de grandeza de 6\pi. Assim o resultado 6\pi não é absurdo. (Isto é só um checagem rápida, não uma prova.)

Resposta

6\pi

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