Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha sobre a curva fechada simples C.
\oint_{C}\left[\left(y^{2} d x+3 x^{2} d y\right]\right., onde C é a linha perimetral do triângulo OAB , tomada no sentido antihorário, com \mathrm{O}=(0,0), \mathrm{A}=(1,2) e \mathrm{B}=(0,2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
ointCl(y^2,dx + 3x^2,dyr)
onde C é o perímetro do triângulo OAB (sentido anti-horário) com O=(0,0), A=(1,2), B=(0,2).
O conteúdo é o Teorema de Green, que diz
ointCP,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA,
em que D é a região interna a C. Aqui temos
P(x,y)=y^2, Q(x,y)=3x^2

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
partial Qpartial x = 6x, partial Ppartial y = 2y
Logo, o integrando de Green fica
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 6x - 2y

Passo 3

A região D é o triângulo com vértices (0,0), (1,2) e (0,2). A reta OA é y=2x, ou seja, x=tfrac y2. Isso implica
0 <= y <= 2, 0 <= x <= y2
Pelo Teorema de Green,
ointCl(y^2,dx + 3x^2,dyr) = integral duplaD (6x - 2y),dA = integral0^2!integral0^y/2 (6x - 2y),dx,dy

Passo 4

Calculemos primeiro a integral interna em x:
integral0^y/2 (6x - 2y),dx = l[3x^2 - 2y,xr]0^y/2 = 3y^24 - 2ycdoty2 = 3y^24 - y^2 = -y^24

Passo 5

Agora integramos em y:
integral0^2l(-tfracy^24r),dy = -14integral0^2 y^2,dy = -14cdot 2^33 = -23

Resposta

- 23

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