Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha sobre a curva fechada simples C.
\oint_{C}\left[\left(y^{2} d x+3 x^{2} d y\right]\right., onde C é a linha perimetral do triângulo OAB , tomada no sentido antihorário, com \mathrm{O}=(0,0), \mathrm{A}=(1,2) e \mathrm{B}=(0,2).
\oint_{C}\left[\left(y^{2} d x+3 x^{2} d y\right]\right., onde C é a linha perimetral do triângulo OAB , tomada no sentido antihorário, com \mathrm{O}=(0,0), \mathrm{A}=(1,2) e \mathrm{B}=(0,2).
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é o perímetro do triângulo
(sentido anti-horário) com
,
,
.
O conteúdo é o Teorema de Green, que diz
O conteúdo é o Teorema de Green, que diz
em que
é a região interna a
. Aqui temos
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais:
Logo, o integrando de Green fica
Passo 3
A região
é o triângulo com vértices
,
e
. A reta
é
, ou seja,
. Isso implica
Pelo Teorema de Green,
Passo 4
Calculemos primeiro a integral interna em
:
Passo 5
Agora integramos em
: