Use o Teorema de Green para calcular
\mathbf{F}(x, y)=-y \mathbf{i}+x \mathbf{j} e C o círculo de raio 2 centrado na origem, percorrido no sentido antihorário.
\mathbf{F}(x, y)=-y \mathbf{i}+x \mathbf{j} e C o círculo de raio 2 centrado na origem, percorrido no sentido antihorário.
Passo 1
O enunciado pede a circulação de
ao longo de
, o círculo de raio
centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green, que converte essa integral de linha num integral dupla do rotacional sobre o disco
delimitado por
.
Passo 2
Para aplicar Green, escrevemos
com
O Teorema de Green pede o cálculo de
e de
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Logo o integrando é
Passo 4
Pelo Teorema de Green:
onde
é o disco de raio
.
Passo 5
Para avaliar
, usamos coordenadas polares
com
e
. Como
, temos
Passo 6
Primeiro integramos em
:
Depois em
:
Portanto a circulação é
.