Use o Teorema de Green para calcular
\mathbf{F}(x, y)=-y \mathbf{i}+x \mathbf{j} e C o círculo de raio 2 centrado na origem, percorrido no sentido antihorário.

Passo 1

O enunciado pede a circulação de \mathbf{F}(x,y)=-y\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j} ao longo de C, o círculo de raio 2 centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green, que converte essa integral de linha num integral dupla do rotacional sobre o disco D delimitado por C.

Passo 2

Para aplicar Green, escrevemos \mathbf{F}=P\,\mathbf{i}+Q\,\mathbf{j} com
P(x,y) = -y, \quad Q(x,y) = x.
O Teorema de Green pede o cálculo de \partial Q/\partial x e de \partial P/\partial y.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial x}{\partial x} =1, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial(-y)}{\partial y} =-1.
Logo o integrando é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =1-(-1)=2.

Passo 4

Pelo Teorema de Green:
\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_D\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA = \iint_D 2\,dA,
onde D é o disco de raio 2.

Passo 5

Para avaliar \iint_D 2\,dA, usamos coordenadas polares (r,\theta) com 0\le r\le2 e 0\le\theta\le2\pi. Como dA = r\,dr\,d\theta, temos
\iint_D 2\,dA = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{2}2\,r\,dr\,d\theta.

Passo 6

Primeiro integramos em r:
\int_{0}^{2}2\,r\,dr =\bigl[r^2\bigr]_{0}^{2} =4.
Depois em \theta:
\int_{0}^{2\pi}4\,d\theta =4\cdot2\pi =8\pi.
Portanto a circulação é 8\pi.

Resposta

8\pi

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