Use o Teorema de Green para calcular
\mathbf{F}(x, y)=y^{3} \mathbf{i}+x^{3} \mathbf{j} e C o contorno da região triangular com vértices em (0,0),(1,0) e ( 1,1 ), percorrido no sentido anti-horário.
\mathbf{F}(x, y)=y^{3} \mathbf{i}+x^{3} \mathbf{j} e C o contorno da região triangular com vértices em (0,0),(1,0) e ( 1,1 ), percorrido no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
e
é o contorno da região triangular com vértices em
,
e
, percorrido no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green, que converte essa integral de linha numa integral dupla sobre a região interna.
Passo 2
Pelo Teorema de Green vale
aqui
e
. Calculando as derivadas parciais:
logo o integrando é
Passo 3
A região
é o triângulo com vértices
,
e
. Para integrar, escolhemos coordenadas cartesianas:
varia de
a
e, para cada
,
varia de
até a reta que liga
a
, ou seja
. Assim
Passo 4
Calculemos primeiro a integral interna em
:
Em seguida integramos em
: