Use o Teorema de Green para calcular
\mathbf{F}(x, y)=y^{3} \mathbf{i}+x^{3} \mathbf{j} e C o contorno da região triangular com vértices em (0,0),(1,0) e ( 1,1 ), percorrido no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
onde \mathbf{F}(x,y)=y^{3}\,\mathbf{i}+x^{3}\,\mathbf{j} e C é o contorno da região triangular com vértices em (0,0), (1,0) e (1,1), percorrido no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green, que converte essa integral de linha numa integral dupla sobre a região interna.

Passo 2

Pelo Teorema de Green vale
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy \;=\;\iint_{R}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
aqui P(x,y)=y^{3} e Q(x,y)=x^{3}. Calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x}=3x^{2}, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=3y^{2},
logo o integrando é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =3x^{2}-3y^{2}=3\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr).

Passo 3

A região R é o triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (1,1). Para integrar, escolhemos coordenadas cartesianas:
x varia de 0 a 1 e, para cada x, y varia de 0 até a reta que liga (0,0) a (1,1), ou seja y=x. Assim
\iint_{R}3\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)\,dA =\int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{x}3\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)\,dy\,dx.

Passo 4

Calculemos primeiro a integral interna em y:
\int_{y=0}^{x}3\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)\,dy =3\Bigl[x^{2}y-\frac{y^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{x} =3\Bigl(x^{3}-\frac{x^{3}}{3}\Bigr) =2x^{3}.
Em seguida integramos em x:
\int_{0}^{1}2x^{3}\,dx =2\Bigl[\frac{x^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{1} =2\cdot\frac{1}{4} =\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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