Use o Teorema de Green para calcular
\mathbf{F}(x, y)=y^{3} \mathbf{i}+x^{3} \mathbf{j} e C o contorno da região triangular com vértices em (0,0),(1,0) e ( 1,1 ), percorrido no sentido anti-horário.
\mathbf{F}(x, y)=y^{3} \mathbf{i}+x^{3} \mathbf{j} e C o contorno da região triangular com vértices em (0,0),(1,0) e ( 1,1 ), percorrido no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral de linha
para
e
é o contorno triangular com vértices em
,
e
, percorrido no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green, que diz
onde
,
e
é a região interna ao triângulo.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais que aparecem no integrando de Green:
Logo, o integrando é
Passo 3
Precisamos então calcular
A região
é o triângulo com vértices
,
,
. Para cada
entre
e
,
varia de
até a reta
. Assim podemos escrever
Passo 4
Calculamos primeiro a integral interna em
:
Passo 5
Agora integramos em
: