Use o Teorema de Green para calcular
\mathbf{F}(x, y)=y^{3} \mathbf{i}+x^{3} \mathbf{j} e C o contorno da região triangular com vértices em (0,0),(1,0) e ( 1,1 ), percorrido no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
para \mathbf{F}(x,y)=y^{3}\,\mathbf{i}+x^{3}\,\mathbf{j} e C é o contorno triangular com vértices em (0,0), (1,0) e (1,1), percorrido no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green, que diz
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy \;=\;\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde P(x,y)=y^{3}, Q(x,y)=x^{3} e D é a região interna ao triângulo.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais que aparecem no integrando de Green:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{3})=3x^{2}, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y^{3})=3y^{2}.
Logo, o integrando é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =3x^{2}-3y^{2}=3\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr).

Passo 3

Precisamos então calcular
\iint_{D}3\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)\,dA.
A região D é o triângulo com vértices (0,0), (1,0), (1,1). Para cada x entre 0 e 1, y varia de 0 até a reta y=x. Assim podemos escrever
\iint_{D}3(x^{2}-y^{2})\,dA =\int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{x}3\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)\,dy\,dx.

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em y:
\int_{0}^{x}3\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)\,dy =3\Bigl[x^{2}y-\frac{y^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{x} =3\Bigl(x^{3}-\frac{x^{3}}{3}\Bigr) =2x^{3}.

Passo 5

Agora integramos em x:
\int_{0}^{1}2x^{3}\,dx =2\cdot\frac{x^{4}}{4}\Big|_{0}^{1} =\frac{2}{4}= \frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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