Calcule, em cada item, a soma da sérje dada. Justifique sua resposta.
\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(4 k+1)(4 k+5)}$.
\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(4 k+1)(4 k+5)}$.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma infinita
ou seja, encontrar o valor numérico da série cuja soma parcial é obtida somando, para
, os termos
. Informações dadas e coisas óbvias que importam: cada termo é positivo, o índice
começa em
e vai até infinito, e o denominador cresce linearmente com
. A tarefa é calcular essa soma e justificar por que o valor encontrado é o correto.
Passo 2
Vamos procurar uma forma de simplificar cada termo para que a soma fique fácil de calcular. Uma técnica útil é decompor a fração em frações parciais do tipo
onde
e
são constantes (independentes de
) que precisamos determinar. Explico a ideia: queremos escrever a fração complicada como soma de duas frações mais simples cujos denominadores aparecem nos fatores originais; isso costuma permitir cancelamentos quando somamos muitos termos (efeito telescópio).
Passo 3
Determinar
e
. Igualando numeradores após colocar em denominador comum:
Portanto
para todo
. Isso é uma identidade polinomial em
. Agrupando os termos em
e os termos constantes:
Como o lado direito é
, os coeficientes devem coincidir:
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda:
Então
. Logo a decomposição é
Passo 4
Agora somamos os termos usando a forma encontrada. Defina a soma parcial até
:
Escrevendo os primeiros termos para ver o cancelamento:
Observe que
cancela com
,
cancela com
, e assim por diante: todos os termos intermediários se cancelam. Resta apenas o primeiro positivo e o último negativo. Portanto
Multiplicando pelo fator
,
Passo 5
Para obter a soma da série infinita tomamos o limite quando
. Note que
porque o denominador cresce sem limite e a fração tende a zero. Assim
Se quiser ver de outra forma: a sequência de somas parciais
é monótona crescente (soma de termos positivos) e limitada superiormente por
, portanto converge para esse limite; a decomposição telescópica mostrou explicitamente esse limite.
Passo 6
Resumo final do raciocínio: decompusemos cada termo em frações parciais, obtivemos um somatório telescópico cujas somas parciais são
e ao fazer
obtemos
. Força aí — essa série é um exemplo clássico e é rapidinho de resolver na prova quando você lembra da técnica de frações parciais + telescópio.