Calcule, em cada item, a soma da sérje dada. Justifique sua resposta.
\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(4 k+1)(4 k+5)}$.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma infinita
\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(4k+1)(4k+5)}
ou seja, encontrar o valor numérico da série cuja soma parcial é obtida somando, para k=0,1,2,\dots, os termos \dfrac{1}{(4k+1)(4k+5)}. Informações dadas e coisas óbvias que importam: cada termo é positivo, o índice k começa em 0 e vai até infinito, e o denominador cresce linearmente com k. A tarefa é calcular essa soma e justificar por que o valor encontrado é o correto.

Passo 2

Vamos procurar uma forma de simplificar cada termo para que a soma fique fácil de calcular. Uma técnica útil é decompor a fração em frações parciais do tipo
\frac{1}{(4k+1)(4k+5)}=\frac{A}{4k+1}+\frac{B}{4k+5},
onde A e B são constantes (independentes de k) que precisamos determinar. Explico a ideia: queremos escrever a fração complicada como soma de duas frações mais simples cujos denominadores aparecem nos fatores originais; isso costuma permitir cancelamentos quando somamos muitos termos (efeito telescópio).

Passo 3

Determinar A e B. Igualando numeradores após colocar em denominador comum:
\frac{1}{(4k+1)(4k+5)}=\frac{A(4k+5)+B(4k+1)}{(4k+1)(4k+5)}.
Portanto
A(4k+5)+B(4k+1)=1
para todo k. Isso é uma identidade polinomial em k. Agrupando os termos em k e os termos constantes:
(4A+4B)k + (5A+B)=1.
Como o lado direito é 1+0\cdot k, os coeficientes devem coincidir:
4A+4B=0 \quad\text{e}\quad 5A+B=1.
Da primeira equação vem A=-B. Substituindo na segunda:
5A + (-A)=1 \implies 4A=1 \implies A=\tfrac{1}{4}.
Então B=-\tfrac{1}{4}. Logo a decomposição é
\frac{1}{(4k+1)(4k+5)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4k+1}-\frac{1}{4k+5}\right).

Passo 4

Agora somamos os termos usando a forma encontrada. Defina a soma parcial até N:
S_N=\sum_{k=0}^{N}\frac{1}{(4k+1)(4k+5)}=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{N}\left(\frac{1}{4k+1}-\frac{1}{4k+5}\right).
Escrevendo os primeiros termos para ver o cancelamento:
\begin{aligned} \sum_{k=0}^{N}\left(\frac{1}{4k+1}-\frac{1}{4k+5}\right) &=\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{5}\right) +\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{9}\right) +\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{13}\right)+\cdots\\\ &\quad+\left(\frac{1}{4N+1}-\frac{1}{4N+5}\right). \end{aligned}
Observe que -\frac{1}{5} cancela com +\frac{1}{5}, -\frac{1}{9} cancela com +\frac{1}{9}, e assim por diante: todos os termos intermediários se cancelam. Resta apenas o primeiro positivo e o último negativo. Portanto
\sum_{k=0}^{N}\left(\frac{1}{4k+1}-\frac{1}{4k+5}\right)=1-\frac{1}{4N+5}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{4},
S_N=\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{4N+5}\right).

Passo 5

Para obter a soma da série infinita tomamos o limite quando N\to+\infty. Note que
\lim_{N\to+\infty}\frac{1}{4N+5}=0
porque o denominador cresce sem limite e a fração tende a zero. Assim
\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{(4k+1)(4k+5)}=\lim_{N\to+\infty}S_N=\frac{1}{4}\left(1-0\right)=\frac{1}{4}.
Se quiser ver de outra forma: a sequência de somas parciais S_N é monótona crescente (soma de termos positivos) e limitada superiormente por \tfrac{1}{4}, portanto converge para esse limite; a decomposição telescópica mostrou explicitamente esse limite.

Passo 6

Resumo final do raciocínio: decompusemos cada termo em frações parciais, obtivemos um somatório telescópico cujas somas parciais são S_N=\tfrac{1}{4}\bigl(1-\tfrac{1}{4N+5}\bigr) e ao fazer N\to\infty obtemos \tfrac{1}{4}. Força aí — essa série é um exemplo clássico e é rapidinho de resolver na prova quando você lembra da técnica de frações parciais + telescópio.

Resposta

\tfrac{1}{4}

Exercícios relacionados