Use o Teorema de Green para calcular
onde
é a circunferência de centro na origem e raio
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
e
, usando o Teorema de Green. A curva
é o círculo de raio
centrado na origem. Vamos precisar transformar a integral de linha em integral dupla sobre o disco interior.
Passo 2
Pelo Teorema de Green temos
onde
é o disco de raio
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
, pois
e a parte
independe de
.
, pois
e a raiz independe de
.
Passo 4
Logo o integrando fica constante:
Assim
Passo 5
O disco
tem área
. Portanto
Passo 6
Concluímos que a integral de linha vale
.