Use o Teorema de Green para calcular
ointgamma(1-2 y+raizx^4+1) d x+(7 x+e^cos (y)) d y
onde gamma é a circunferência de centro na origem e raio 1 / 3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha ointgammaP,dx + Q,dy onde
P(x,y)=1-2y+raizx^4+1 e Q(x,y)=7x+e^cos(y), usando o Teorema de Green. A curva gamma é o círculo de raio 1/3 centrado na origem. Vamos precisar transformar a integral de linha em integral dupla sobre o disco interior.

Passo 2

Pelo Teorema de Green temos
ointgammaP,dx+Q,dy = integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA,
onde D é o disco de raio 1/3.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x=7, pois Q=7x+e^cos(y) e a parte e^cos(y) independe de x.
partial Ppartial y=-2, pois P=1-2y+raizx^4+1 e a raiz independe de y.

Passo 4

Logo o integrando fica constante:
partial Qpartial x-partial Ppartial y=7-(-2)=9
Assim
integral duplaD9,dA =9timesárea(D) á

Passo 5

O disco D tem área pi(1/3)^2=pi/9. Portanto
9timespi9=pi

Passo 6

Concluímos que a integral de linha vale pi.

Resposta

pi

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