Use Transformadas de Laplace para resolver os Problemas de valor inicial a seguir.
ly^prime prime+5 y^prime-6 y=0 ; y(0)=5, y^prime(0)=-5,.

Passo 1

Nesse exercício, vamos resolver a equação de segunda ordem com condições iniciais usando Transformada de Laplace. A equação é y''+5y'-6y=0 com y(0)=5 e y'(0)=-5. Precisamos usar as fórmulas de Ly'(t) e Ly''(t).

Passo 2

Definimos Y(s)=Ly(t). Lembrando que
Ly'(t)=sY(s)-y(0),
Ly''(t)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0),

Passo 3

Aplicamos a Transformada na equação:
Ly''+5,Ly'-6,Ly=0
Substituindo as expressões, obtemos:
(s^2Y(s)-5s+5)+5(sY(s)-5)-6Y(s)=0

Passo 4

Agrupando os termos em Y(s) e inserindo as condições iniciais:
(s^2+5s-6)Y(s)-5s+5-25=0
(s^2+5s-6)Y(s)=5s+20
Y(s)=5(s+4)(s-1)(s+6)

Passo 5

Fazemos a decomposição em frações parciais:
Y(s)=As-1+Bs+6,
com
A+B=5,
6A-B=20
Resolvendo, A=tfrac257 e B=tfrac107.

Passo 6

Aplicamos a Transformada Inversa de Laplace usando L^-11/(s-a)=e^at:
y(t)=257e^t+107e^-6t

Resposta

y(t)=257e^t+107e^-6t

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