Use o Teorema de L’Hopital para calcular os limites abaixo
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o Teorema de L’Hôpital. O conteúdo é limites de forma indeterminada, e vamos precisar usar logaritmos para transformar a potência em um produto e depois aplicar L’Hôpital.
Passo 2
Observe que, ao fazermos
, a expressão tem a forma
que é indeterminada. Para tratar isso, definimos
e trabalhamos com
.
Passo 3
Tomando logaritmo em ambos os lados:
Agora estudamos
Passo 4
O produto
é do tipo
. Para aplicar L’Hôpital, reescrevemos como quociente:
Passo 5
No limite
, temos
e
, portanto é
. Aplicando L’Hôpital:
derivada do numerador é ,
derivada do denominador é .
Logo
derivada do numerador é
derivada do denominador é
Logo
Passo 6
Para
, usamos
e
, logo
Isso mostra que
e, portanto,