Use o Teorema de L’Hopital para calcular os limites abaixo
lim x 0 x^sen(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0 x^sin(x)
usando o Teorema de L’Hôpital. O conteúdo é limites de forma indeterminada, e vamos precisar usar logaritmos para transformar a potência em um produto e depois aplicar L’Hôpital.

Passo 2

Observe que, ao fazermos xto0^+, a expressão tem a forma
0^0,
que é indeterminada. Para tratar isso, definimos
y = x^sen(x)
e trabalhamos com ln(y).

Passo 3

Tomando logaritmo em ambos os lados:
ln(y) = lnl(x^sen(x)r) = sen(x),ln(x)
Agora estudamos
limxto0^+ sen(x),ln(x)

Passo 4

O produto sin(x),ln(x) é do tipo 0cdot(-infty). Para aplicar L’Hôpital, reescrevemos como quociente:
sin(x),ln(x) = ln(x)tfrac1sin(x)

Passo 5

No limite xto0^+, temos ln(x)to -infty e 1/sin(x)to +infty, portanto é tfrac-infty+infty. Aplicando L’Hôpital:
derivada do numerador é tfracddx[ln(x)] = tfrac1x,
derivada do denominador é tfracddx[1/sin(x)] = -dfraccos(x)sin^2(x).
Logo
limxto0^+ sin(x),ln(x) = limxto0^+ tfrac1x-dfraccos(x)sin^2(x) = limxto0^+ gl(-sin^2(x)x,cos(x)gr)

Passo 6

Para xto0, usamos sen(x)sim x e cos(x)to1, logo
-sen^2(x)x,cos(x) sim -x^2xcdot1 = -x to 0
Isso mostra que
limxto0^+ln(y)=0
e, portanto,
limxto0^+y =limxto0^+x^sen(x) =e^0=1

Resposta

1

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