Achar a transformada inversa de Laplace das funções.
F(s)=\frac{4}{(s-1)^{3}}\'

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{4}{(s-1)^{3}}.
Para resolver, usamos a propriedade de deslocamento no domínio de s e a fórmula geral
\mathcal{L}\{t^n e^{a t}\}=\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}.

Passo 2

Reconhecemos na fórmula que, para a=1 e n=2, temos
\mathcal{L}\{t^2 e^{t}\}=\frac{2!}{(s-1)^{3}}=\frac{2}{(s-1)^3}.
Logo,
\frac{1}{(s-1)^3}=\mathcal{L}\Bigl\{\frac{t^2 e^{t}}{2}\Bigr\}.

Passo 3

Como F(s)=4\cdot\frac{1}{(s-1)^3}, aplicamos a linearidade da transformada inversa:
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} =4\;\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{(s-1)^3}\Bigr\} =4\cdot\frac{t^2 e^{t}}{2}.

Passo 4

Simplificando o coeficiente,
4\cdot\frac{t^2 e^{t}}{2}=2\,t^2 e^{t}.

Resposta

f(t)=2\,t^2 e^{t}.

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