Use o Teorema 4.3 para obter a transformada inversa indicada.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
- Pede a transformada inversa
. - A informação fornecida é apenas a função de
: .
Vou transformar essa expressão para relacioná‑la com transformadas conhecidas.
Passo 2
Lembrando o enunciado do Teorema 4.3 (teorema da escala no tempo/espaço de Laplace):
Se , então, para qualquer constante positiva
,
Se
Equivalente útil para inversa: se
é conhecida e queremos
, vale
onde
e
. Aqui
e
são constantes de escala;
é a variável do tempo e
é a variável de Laplace.
Passo 3
Anotar transformadas básicas que vamos usar (lembrando o que cada símbolo significa):
-
é a variável de tempo. -
é a variável do domínio de Laplace.
A fórmula padrão:
onde
. Assim, a função
tem transformada
.
Passo 4
Manipular a expressão dada para compará‑la com uma forma conhecida. Começo fatorando a constante:
Agora observe que, para
,
Logo
Passo 5
Substituindo na expressão inicial:
Assim a função de
dada é um múltiplo da transformada de
. Portanto a transformada inversa é simplesmente esse múltiplo aplicado à função no tempo:
(Isto coincide também com o uso direto do Teorema 4.3: note que
com
e
; então
.)