Use o Teorema 4.3 para obter a transformada inversa indicada.
mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{4 s^{2}+1}\right\}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede a transformada inversa \mathscr{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{4 s^{2}+1}\right\}.
  • A informação fornecida é apenas a função de s: \dfrac{1}{4 s^{2}+1}.
    Vou transformar essa expressão para relacioná‑la com transformadas conhecidas.

Passo 2

Lembrando o enunciado do Teorema 4.3 (teorema da escala no tempo/espaço de Laplace):
Se \mathscr{L}\{f(t)\}=F(s), então, para qualquer constante positiva a,
\mathscr{L}\{f(a t)\}=\frac{1}{a}\,F\!\left(\frac{s}{a}\right).
Equivalente útil para inversa: se F(s) é conhecida e queremos \mathscr{L}^{-1}\{F(b s)\}, vale
\mathscr{L}^{-1}\{F(b s)\}=\frac{1}{b}\,f\!\left(\frac{t}{b}\right),
onde f=\mathscr{L}^{-1}\{F\} e b>0. Aqui a e b são constantes de escala; t é a variável do tempo e s é a variável de Laplace.

Passo 3

Anotar transformadas básicas que vamos usar (lembrando o que cada símbolo significa):
  • t é a variável de tempo.
  • s é a variável do domínio de Laplace.
    A fórmula padrão:
\mathscr{L}\{\sin(\alpha t)\}=\frac{\alpha}{s^{2}+\alpha^{2}},
onde \alpha>0. Assim, a função f(t)=\sin(\alpha t) tem transformada F(s)=\dfrac{\alpha}{s^{2}+\alpha^{2}}.

Passo 4

Manipular a expressão dada para compará‑la com uma forma conhecida. Começo fatorando a constante:
\frac{1}{4 s^{2}+1}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s^{2}+\tfrac{1}{4}}.
Agora observe que, para \alpha=\tfrac{1}{2},
\mathscr{L}\{\sin(\tfrac{1}{2}t)\}=\frac{\tfrac{1}{2}}{s^{2}+(\tfrac{1}{2})^{2}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{s^{2}+\tfrac{1}{4}}.
Logo
\frac{1}{s^{2}+\tfrac{1}{4}}=2\cdot\mathscr{L}\{\sin(\tfrac{1}{2}t)\}.

Passo 5

Substituindo na expressão inicial:
\frac{1}{4 s^{2}+1}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s^{2}+\tfrac{1}{4}}=\frac{1}{4}\cdot 2\cdot\mathscr{L}\{\sin(\tfrac{1}{2}t)\}=\frac{1}{2}\,\mathscr{L}\{\sin(\tfrac{1}{2}t)\}.
Assim a função de s dada é um múltiplo da transformada de \sin(\tfrac{1}{2}t). Portanto a transformada inversa é simplesmente esse múltiplo aplicado à função no tempo:
\mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{4 s^{2}+1}\right\}=\frac{1}{2}\,\sin\!\left(\tfrac{1}{2}t\right).
(Isto coincide também com o uso direto do Teorema 4.3: note que \dfrac{1}{4 s^{2}+1}=F(2s) com F(s)=\dfrac{1}{s^{2}+1} e \mathscr{L}^{-1}\{F\}=\sin t; então \mathscr{L}^{-1}\{F(2s)\}=\tfrac{1}{2}\sin(\tfrac{t}{2}).)

Resposta

\dfrac{1}{2}\,\sin\!\left(\tfrac{1}{2}t\right)

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