Use o Teorema 4.3 para obter a transformada inversa indicada.
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa
Informações dadas:
- A função na variável complexa
é . - Queremos encontrar a função de tempo
tal que .
Vou trabalhar passo a passo para transformar essa expressão numa forma padrão que conhecemos e então aplicar o Teorema 4.3.
Passo 2
Apresento o Teorema 4.3 que vamos usar (forma clássica da transformada do cosseno):
onde:
-
é a variável de tempo; -
é a variável complexa da transformada (normalmente com para convergência); -
é uma constante real positiva que aparece como frequência angular.
Esse teorema diz que a transformada de Laplace do cosseno com frequênciaé exatamente . Para obter a inversa, reconhecemos expressões da forma e concluímos que a inversa é .
Passo 3
Vamos manipular algebricamente a função dada para colocá‑la na forma
. Começo dividindo numerador e denominador por
:
Portanto a expressão é igual a
, porque
.
Passo 4
Agora compare isso com a forma do Teorema 4.3:
Aqui temos
. Logo, pela inversa do teorema,
Passo 5
Para ficar totalmente tranquilo, faço uma verificação rápida aplicando a transformada direta conhecida:
que coincide com a função dada. Portanto a inversa encontrada está correta.
Passo 6
Resumo didático do procedimento para usar na prova:
- Reconheça formas padrões:
corresponde a . - Se a expressão não estiver exatamente nessa forma, faça manipulações simples (dividir por constantes, fatorar) até chegar nela.
- Identifique
e aplique o teorema para escrever a transformada inversa.