Use o Teorema 4.3 para obter a transformada inversa indicada.
mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{4 s}{4 s^{2}+1}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa
\mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{4s}{4s^{2}+1}\right\}.
Informações dadas:
  • A função na variável complexa s é \dfrac{4s}{4s^{2}+1}.
  • Queremos encontrar a função de tempo f(t) tal que \mathscr{L}\{f(t)\}=\dfrac{4s}{4s^{2}+1}.
    Vou trabalhar passo a passo para transformar essa expressão numa forma padrão que conhecemos e então aplicar o Teorema 4.3.

Passo 2

Apresento o Teorema 4.3 que vamos usar (forma clássica da transformada do cosseno):
\mathscr{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},
onde:
  • t\ge 0 é a variável de tempo;
  • s é a variável complexa da transformada (normalmente com \Re(s)>0 para convergência);
  • a é uma constante real positiva que aparece como frequência angular.
    Esse teorema diz que a transformada de Laplace do cosseno com frequência a é exatamente \dfrac{s}{s^{2}+a^{2}}. Para obter a inversa, reconhecemos expressões da forma \dfrac{s}{s^{2}+a^{2}} e concluímos que a inversa é \cos(at).

Passo 3

Vamos manipular algebricamente a função dada para colocá‑la na forma \dfrac{s}{s^{2}+a^{2}}. Começo dividindo numerador e denominador por 4:
\frac{4s}{4s^{2}+1}=\frac{4s}{4\left(s^{2}+\tfrac{1}{4}\right)}=\frac{s}{s^{2}+\tfrac{1}{4}}.
Portanto a expressão é igual a \dfrac{s}{s^{2}+(1/2)^{2}}, porque \tfrac{1}{4}=(\tfrac{1}{2})^{2}.

Passo 4

Agora compare isso com a forma do Teorema 4.3:
\frac{s}{s^{2}+a^{2}} \quad\longleftrightarrow\quad \cos(at).
Aqui temos a=\tfrac{1}{2}. Logo, pela inversa do teorema,
\mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+(\tfrac{1}{2})^{2}}\right\}=\cos\!\left(\tfrac{1}{2}t\right).

Passo 5

Para ficar totalmente tranquilo, faço uma verificação rápida aplicando a transformada direta conhecida:
\mathscr{L}\{\cos(\tfrac{1}{2}t)\}=\frac{s}{s^{2}+(\tfrac{1}{2})^{2}}=\frac{s}{s^{2}+\tfrac{1}{4}}=\frac{4s}{4s^{2}+1},
que coincide com a função dada. Portanto a inversa encontrada está correta.

Passo 6

Resumo didático do procedimento para usar na prova:
  • Reconheça formas padrões: \dfrac{s}{s^{2}+a^{2}} corresponde a \cos(at).
  • Se a expressão não estiver exatamente nessa forma, faça manipulações simples (dividir por constantes, fatorar) até chegar nela.
  • Identifique a e aplique o teorema para escrever a transformada inversa.

Resposta

\cos\!\left(\tfrac{t}{2}\right)

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