Use o Teorema 4.1 para obter
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para obter
usando o Teorema 4.1.
Informações relevantes: a função é uma combinação linear de e constante. O que se pede é a transformada de Laplace dessa função.
Informações relevantes: a função é uma combinação linear de
Passo 2
Lembrete: a transformada de Laplace de uma função
é definida por
onde
é a variável complexa (na prática, exige-se
para convergência nos casos elementares que veremos). Aqui cada símbolo significa:
-
: variável de tempo (independente), ; -
: parâmetro da transformada, normalmente ; -
: função que está sendo transformada.
Passo 3
O Teorema 4.1 é a propriedade de linearidade da transformada de Laplace. Ele diz que, para constantes
e
e funções
,
,
Aplicando à nossa
obtemos
Passo 4
Calcular
. Usando a definição,
Esse é um integral exponencial conhecido. Para
temos
Portanto
para
.
Passo 5
Calcular
. Use integração por partes na integral
Escolhendo
e
, então
e
. Pela fórmula da integração por partes,
Avaliaremos os termos:
- O termo de fronteira
para (exponencial domina o polinômio). No esse termo vale . - A integral restante é
(usando o resultado do Passo 4).
Portanto
Passo 6
Agora combine os resultados pelo teorema da linearidade (Passo 3):