Use o Teorema 4.1 para obter mathscr{L}{f(t)}.
f(t)=4 t-10

Passo 1

O enunciado dá a função f(t)=4t-10 e pede para obter \mathscr{L}\{f(t)\} usando o Teorema 4.1.
Informações relevantes: a função é uma combinação linear de t e constante. O que se pede é a transformada de Laplace dessa função.

Passo 2

Lembrete: a transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathscr{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa (na prática, exige-se \operatorname{Re}(s)>0 para convergência nos casos elementares que veremos). Aqui cada símbolo significa:
  • t: variável de tempo (independente), t\ge 0;
  • s: parâmetro da transformada, normalmente \operatorname{Re}(s)>0;
  • f(t): função que está sendo transformada.

Passo 3

O Teorema 4.1 é a propriedade de linearidade da transformada de Laplace. Ele diz que, para constantes a e b e funções g(t), h(t),
\mathscr{L}\{a\,g(t)+b\,h(t)\}=a\,\mathscr{L}\{g(t)\}+b\,\mathscr{L}\{h(t)\}.
Aplicando à nossa f(t)=4t-10 obtemos
\mathscr{L}\{4t-10\}=4\,\mathscr{L}\{t\}-10\,\mathscr{L}\{1\}.

Passo 4

Calcular \mathscr{L}\{1\}. Usando a definição,
\mathscr{L}\{1\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt.
Esse é um integral exponencial conhecido. Para \operatorname{Re}(s)>0 temos
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt=\Bigl[-\frac{1}{s}e^{-st}\Bigr]_{0}^{\infty}=\left(0\right)-\left(-\frac{1}{s}\right)=\frac{1}{s}.
Portanto \mathscr{L}\{1\}=\dfrac{1}{s} para \operatorname{Re}(s)>0.

Passo 5

Calcular \mathscr{L}\{t\}. Use integração por partes na integral
\mathscr{L}\{t\}(s)=\int_{0}^{\infty} t\,e^{-st}\,dt.
Escolhendo u=t e dv=e^{-st}\,dt, então du=dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Pela fórmula da integração por partes,
\int_{0}^{\infty} t\,e^{-st}\,dt=\Bigl. -\frac{t}{s}e^{-st}\Bigr|_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty}\frac{1}{s}e^{-st}\,dt.
Avaliaremos os termos:
  • O termo de fronteira \displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{t}{s}e^{-st}=0 para \operatorname{Re}(s)>0 (exponencial domina o polinômio). No t=0 esse termo vale 0.
  • A integral restante é \dfrac{1}{s}\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt=\dfrac{1}{s}\cdot\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{s^{2}} (usando o resultado do Passo 4).
Portanto
\mathscr{L}\{t\}=\frac{1}{s^{2}}\qquad(\operatorname{Re}(s)>0).

Passo 6

Agora combine os resultados pelo teorema da linearidade (Passo 3):
\mathscr{L}\{4t-10\}=4\cdot\frac{1}{s^{2}}-10\cdot\frac{1}{s}=\frac{4}{s^{2}}-\frac{10}{s}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{s^{2}}-\frac{10}{s}

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