Use o teorema dos resíduos para calcular as seguintes integrais definidas:
\int_{0}^{\pi} \frac{d \theta}{a^{2}+\cos ^{2} \theta}=\frac{\pi}{a \sqrt{a^{2}+1}}, a>0

Passo 1

O objetivo é calcular
I(a)=\int_{0}^{\pi}\frac{d\theta}{a^{2}+\cos^{2}\theta},\quad a>0
usando o teorema dos resíduos. Vamos transformar em integral de contorno no círculo unitário pela mudança z=e^{i\theta}, localizar polos simples dentro de |z|=1, somar resíduos e aplicar Cauchy.

Passo 2

Como \cos^{2}\theta é 2\pi-periódica e par em \theta, temos
I(a) =\frac12\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{a^{2}+\cos^{2}\theta}.
Com z=e^{i\theta} segue
d\theta=\frac{dz}{iz},\qquad \cos\theta=\frac{z+z^{-1}}{2}.

Passo 3

Escrevendo a integral completa sobre |z|=1:
\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{a^{2}+\cos^{2}\theta} =\oint_{|z|=1}\frac{dz}{iz}\,\frac{1}{a^{2}+\bigl(\tfrac{z+z^{-1}}{2}\bigr)^{2}}.
No denominador
a^{2}+\frac{(z+z^{-1})^{2}}{4} =\frac{z^{4}+(2+4a^{2})z^{2}+1}{4z^{2}},
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\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{a^{2}+\cos^{2}\theta} =\oint_{|z|=1}\frac{4z^{2}}{iz\bigl(z^{4}+(2+4a^{2})z^{2}+1\bigr)}\,dz =\oint_{|z|=1}\frac{4z}{i\bigl(z^{4}+(2+4a^{2})z^{2}+1\bigr)}\,dz.
Assim
I(a)=\frac12\cdot\oint_{|z|=1}f(z)\,dz, \qquad f(z)=\frac{4z}{i\bigl(z^{4}+(2+4a^{2})z^{2}+1\bigr)}.

Passo 4

Determinamos os polos de f resolvendo
z^{4}+(2+4a^{2})z^{2}+1=0.
Com w=z^{2} vem
w^{2}+(2+4a^{2})w+1=0 \quad\Rightarrow\quad w_{1,2}=-(1+2a^{2})\pm 2a\sqrt{a^{2}+1}.
Para a>0, w_{1}=-\bigl((\sqrt{a^{2}+1}-a)^{2}\bigr) e w_{2}=-\bigl((\sqrt{a^{2}+1}+a)^{2}\bigr). Assim os quatro polos são
z=\pm\sqrt{w_{1}},\quad z=\pm\sqrt{w_{2}},
e apenas \sqrt{w_{1}}=\pm\,(\sqrt{a^{2}+1}-a) obedecem |z|<1.

Passo 5

Cada polo em z=\pm\alpha, com \alpha=\sqrt{a^{2}+1}-a, é simples. O resíduo em z=\alpha é
\Res(f,\alpha) =\lim_{z\to\alpha}(z-\alpha)\frac{4z}{i(z-\alpha)(z+\alpha)(z^{2}-w_{2})} =\frac{4\alpha}{i\,(2\alpha)\,(\alpha^{2}-w_{2})} =\frac{2}{i(\alpha^{2}-w_{2})}.
Como \alpha^{2}-w_{2}=w_{1}-w_{2}=4a\sqrt{a^{2}+1}, segue
\Res(f,\alpha) =\frac{2}{i\,4a\sqrt{a^{2}+1}} =\frac{1}{2i\,a\sqrt{a^{2}+1}}.
Pelo mesmo cálculo o resíduo em -\alpha dá o mesmo valor. Logo
\sum_{\text{polos int.}}\Res(f) =2\cdot\frac{1}{2i\,a\sqrt{a^{2}+1}} =\frac{1}{i\,a\sqrt{a^{2}+1}}.

Passo 6

Pelo teorema dos resíduos
\oint_{|z|=1}f(z)\,dz =2\pi i\;\frac{1}{i\,a\sqrt{a^{2}+1}} =\frac{2\pi}{a\sqrt{a^{2}+1}}.
Como I(a)=\tfrac12\oint f(z)\,dz, concluímos
I(a)=\frac{\pi}{a\sqrt{a^{2}+1}}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{a\sqrt{a^{2}+1}}

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