Use o teorema dos resíduos para calcular as seguintes integrais definidas:
Passo 1
O objetivo é calcular
usando o teorema dos resíduos. Vamos transformar em integral de contorno no círculo unitário pela mudança
, localizar polos simples dentro de
, somar resíduos e aplicar Cauchy.
Passo 2
Como
é
-periódica e par em
, temos
Com
segue
Passo 3
Escrevendo a integral completa sobre
:
No denominador
logo
Assim
Passo 4
Determinamos os polos de
resolvendo
Com
vem
Para
,
e
. Assim os quatro polos são
e apenas
obedecem
.
Passo 5
Cada polo em
, com
, é simples. O resíduo em
é
Como
, segue
Pelo mesmo cálculo o resíduo em
dá o mesmo valor. Logo
Passo 6
Pelo teorema dos resíduos
Como
, concluímos