Use o teorema dos resíduos para calcular as seguintes integrais definidas:
\int_{-\pi}^{\pi} \frac{d \theta}{1+\operatorname{sen}^{2} \theta}=\pi \sqrt{2}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral
\int_{-\pi}^{\pi} \frac{d\theta}{1+\sin^{2}\theta}
usando o Teorema dos Resíduos. Vamos empregar a mudança de variável complexa
\displaystyle z=e^{i\theta}, de modo que o contorno \theta\in[-\pi,\pi] se torne o círculo unitário \lvert z\rvert=1.

Passo 2

Com z=e^{i\theta} temos
d\theta=\frac{dz}{i\,z}, \quad \sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} =\frac{z-z^{-1}}{2i}.
Logo a integral vira
\int_{-\pi}^{\pi}\frac{d\theta}{1+\sin^{2}\theta} =\oint_{\lvert z\rvert=1} \frac{1}{1+\bigl(\tfrac{z-z^{-1}}{2i}\bigr)^{2}}\;\frac{dz}{i\,z}.

Passo 3

Dentro do integrando simplificamos o denominador:
1+\Bigl(\frac{z-z^{-1}}{2i}\Bigr)^{2} =1-\frac{(z-z^{-1})^{2}}{4} =\frac{6 -z^{2}-z^{-2}}{4} =\frac{6z^{2}-z^{4}-1}{4z^{2}}.
Portanto
\frac{1}{1+\sin^{2}\theta}\,\frac{1}{i\,z} =\frac{4z^{2}}{6z^{2}-z^{4}-1}\,\frac{1}{i\,z} =\frac{4z}{i\,(6z^{2}-z^{4}-1)} =-\frac{4z}{i\,(z^{4}-6z^{2}+1)}.
Chame P(z)=z^{4}-6z^{2}+1. A integral é
\oint_{\lvert z\rvert=1} -\frac{4z}{i\,P(z)}\,dz.

Passo 4

As raízes de P(z)=0 satisfazem
z^{2}=\frac{6\pm\sqrt{36-4}}{2}=3\pm2\sqrt{2},
isto é
z=\pm(\sqrt{2}+1), \, z=\pm(\sqrt{2}-1).
Destes, somente
\,z_{3}=\sqrt{2}-1 e z_{4}=-(\sqrt{2}-1)
têm \lvert z\rvert<1.

Passo 5

Os polos em z_{3},z_{4} são simples. O resíduo de
\displaystyle f(z)=-\frac{4z}{i\,P(z)}
num polo simples z_{k} é
\Res(f,z_{k}) =\lim_{z\to z_{k}} -\frac{4z}{i}\,\frac{1}{P'(z)} \;=\; -\frac{4\,z_{k}}{i\,P'(z_{k})},
com P'(z)=4z^{3}-12z=4z(z^{2}-3).

Passo 6

Para z_{k}\in\{z_{3},z_{4}\} temos
P'(z_{k})=4\,z_{k}\bigl(z_{k}^{2}-3\bigr),
e
z_{k}^{2}=3-2\sqrt{2} \quad\Longrightarrow\quad z_{k}^{2}-3=-2\sqrt{2}.
Assim
\Res(f,z_{k}) =-\frac{4\,z_{k}}{i\;4\,z_{k}\,(-2\sqrt{2})} =-\frac{1}{i\,(-2\sqrt{2})} =\frac{1}{2i\sqrt{2}}.
Como há dois polos iguais nesse valor, a soma dos resíduos é
\sum_{k=3,4}\Res(f,z_{k}) =2\cdot\frac{1}{2i\sqrt{2}} =\frac{1}{i\sqrt{2}}.

Passo 7

Pelo Teorema dos Resíduos,
\oint_{\lvert z\rvert=1}f(z)\,dz =2\pi i\;\sum_{k=3,4}\Res(f,z_{k}) =2\pi i\;\frac{1}{i\sqrt{2}} =\frac{2\pi}{\sqrt{2}} =\pi\sqrt{2}.
Como a integral de -\pi a \pi coincide com a integral sobre o círculo unitário, concluímos o resultado pedido.

Resposta

\displaystyle \pi\sqrt{2}

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