Use o teorema dos resíduos para calcular as seguintes integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral
usando o Teorema dos Resíduos. Vamos empregar a mudança de variável complexa
, de modo que o contorno
se torne o círculo unitário
.
Passo 2
Com
temos
Logo a integral vira
Passo 3
Dentro do integrando simplificamos o denominador:
Portanto
Chame
. A integral é
Passo 4
As raízes de
satisfazem
isto é
Destes, somente
e
têm .
têm
Passo 5
Os polos em
são simples. O resíduo de
num polo simples é
num polo simples
com
.
Passo 6
Para
temos
e
Assim
Como há dois polos iguais nesse valor, a soma dos resíduos é
Passo 7
Pelo Teorema dos Resíduos,
Como a integral de
a
coincide com a integral sobre o círculo unitário, concluímos o resultado pedido.