Use o teorema dos resíduos para calcular as seguintes integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o teorema dos resíduos. Vamos usar as identidades de Euler e a substituição complexa
.
Passo 2
Observamos que
é
–periódica e par, logo
Portanto basta calcular a integral de
a
e depois dividir por 2.
Passo 3
Fazendo
, temos
e o contorno
corresponde ao círculo
. Assim
Passo 4
Multiplicando numerador e denominador por
, obtemos
logo
Passo 5
Os polos do integrando vêm de
Como
, apenas
satisfaz
. É um polo simples dentro do contorno.
Passo 6
O resíduo em
é
Pelo teorema dos resíduos,
Passo 7
Voltando à integral original,