Use o teorema dos resíduos para calcular as seguintes integrais definidas:
\int_{0}^{\pi} \frac{d \theta}{a+\cos \theta} d \theta=\frac{\pi}{\sqrt{a^{2}-1}}, a>1

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = \int_{0}^{\pi} \frac{d\theta}{a + \cos\theta},\qquad a>1
usando o teorema dos resíduos. Vamos usar as identidades de Euler e a substituição complexa z=e^{i\theta}.

Passo 2

Observamos que \cos\theta é 2\pi–periódica e par, logo
\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{a+\cos\theta} =2\int_{0}^{\pi}\frac{d\theta}{a+\cos\theta} =2I.
Portanto basta calcular a integral de 0 a 2\pi e depois dividir por 2.

Passo 3

Fazendo z=e^{i\theta}, temos
d\theta = \frac{dz}{i\,z}, \qquad \cos\theta = \frac{z+z^{-1}}{2},
e o contorno \theta:0\to2\pi corresponde ao círculo \lvert z\rvert=1. Assim
\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{a+\cos\theta} =\oint_{\lvert z\rvert=1} \frac{1}{\,a+\frac{z+z^{-1}}{2}\,}\,\frac{dz}{i\,z}.

Passo 4

Multiplicando numerador e denominador por 2z, obtemos
\frac{1}{\,a+\frac{z+z^{-1}}{2}\,}\,\frac{1}{i\,z} =\frac{2}{\,i\bigl(2a\,z + z^2 + 1\bigr)\!}\,,
logo
J \equiv \int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{a+\cos\theta} =\oint_{\lvert z\rvert=1}\frac{2}{\,i\,(z^2+2a\,z+1)\!}\,dz.

Passo 5

Os polos do integrando vêm de
z^2+2a\,z+1=0 \quad\Longrightarrow\quad z = -a \pm \sqrt{a^2-1}.
Como a>1, apenas
z_1 = -a + \sqrt{a^2-1}
satisfaz \lvert z_1\rvert<1. É um polo simples dentro do contorno.

Passo 6

O resíduo em z_1 é
\operatorname{Res}\Bigl(\frac{2}{i(z^2+2az+1)},z_1\Bigr) =\frac{2}{\,i\,(2z_1+2a)\!} =\frac{1}{\,i\,(z_1+a)\!} =\frac{1}{\,i\sqrt{a^2-1}\!}.
Pelo teorema dos resíduos,
J = 2\pi i \times \frac{1}{\,i\sqrt{a^2-1}\!} =\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-1}}.

Passo 7

Voltando à integral original,
I = \int_{0}^{\pi}\frac{d\theta}{a+\cos\theta} =\frac12\,J =\frac12\cdot\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-1}} =\frac{\pi}{\sqrt{a^2-1}}.

Resposta

\int_{0}^{\pi}\frac{d\theta}{a+\cos\theta} =\frac{\pi}{\sqrt{a^2-1}}, \quad a>1.

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